斜率最佳化dp

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hihocoder 1529 不上升序列[斜率最佳化]Description

給出一個序列 \(a[1...n]\) ，求構造一個 \(b[1...n]\) ，滿足\(b_{i+1}\le b_{i}\)，使得 \(\sum\limits _{i=1}^{n} |a_i-b_i|\) 最小 .

• \(n\le 5\times 10^5\)

Solution關於暴力與轉移方程

首先對於暴力轉移，定義\(dp_{i,j}\)為轉移到i點，權值為j的最小花費.

那麼有轉移方程 $dp_{i+1,j}= min(dp_{i,k})+|A_i-j| $ [k>=j]

函數映像及證明

然後分析\(dp_{i,j}\) 構成的函數，定義 \(f(x)=dp_i\) ，那麼可以得到\(f(x)\)是一個下凸函數 [斜率單調不遞減]

首先對於i=1的情況，映像是：

很顯然是一個下凸函數

其中y表示花費，x表示b1的取值，a1表示原來第一個點的值

再觀察上面給出的轉移方程，發現對於一個j，用到的是大於等於自己的k對應的最小值

所以那段下降的函數是無用的

如果要轉移到下一層的話，我們就只用管：

然後加入a2，但考慮a2構成的映像是和上面a1的映像相同的，然後再與修改後的轉移映像相疊加，不難發現映像的斜率單調不減

所要維護的東西

由上面的推導可知：

加入一個數之後，映像會有所改變，並且我們不用管斜率小於等於0的部分函數

所以就始終維護一個斜率大於0且單調遞增函數即可，並且答案就為那個下凹點

假設我們考慮 \(a_i\) ，那麼 \(x< a_i\)的部分的斜率都要 -1，\(x> a_i\)的部分斜率都要 +1

如何維護斜率

加入第一個點後 \(f(x)\) 是一個斜率為1的遞增函數

那麼就放入\(a_1\)，表示 \([a_1,\infty]\) 的局部函數斜率都為1

如果加入一個 \(a_2\)

若\(a_2\ge a_1\) ，那麼 \([a_1,a_2]\) 的局部函數斜率變為0 ，\([a_2,\infty]\) 斜率變為2

若\(a_2<a1\) ，那麼 \([a_2,a_1]\) 的局部函數斜率變成1，\([a_1,\infty]\) 的斜率變為2

對於第一種情況，可以看做 \([a1,\infty]\) $\to $ \([a1,a2],[a2,a2],[a2,\infty]\) 分別對應 0,1,2三種斜率

對於第二種情況，可以看做 \([a1,\infty]\) $\to $ \([a2,a1],[a1,\infty]\) 分別對應 1,2兩種斜率

已知斜率小於等於0的函數部分是不要的

所以對於第一種情況，應該把\(a_1\)這個點給刪掉，並加入兩個\(a_2\)

而第二種情況，只需加入\(a_2\)即可

發現每次只需要調用最左邊的點[即最小值]，所以用堆維護即可

如何計算答案

發現對於上述第一種情況，整個函數的下凹點改變了，假設原來凹點為\(f(a_1)=y_1\) ,\(，f(a_2)=y_1+k\times (a_2-a_1)，k=1\) ，那麼斜率改變後， 凹點位置轉移到\(a_2\)，對應 \(f(a_2)\)不變，所以答案增大\(a_2-a_1\)

RT

斜率最佳化dp