So you want to be a 2n-aire?

描述

遊戲者開始是$1的獎金，要求回答n個問題。對每個問題，可以：

1）、退出並保有獎金
2）、回答問題。
如果錯誤，就退出並什麼都得不到。如果正確，那麼獎金翻倍，並可繼續回答下一個問題。
在回答最後一個問題後，他獲得獎金並退出。遊戲者想要最大化他期望獲得的獎金。
一旦提出了一個問題，遊戲者就能以機率p正確回答。對每個問題，假設p是一個隨機變數，分布的範圍是t<=p<=1。

輸入

輸入M行數，每一行有兩個數字：整數n和實數t, 1 ≤ n ≤ 30, 0 ≤ t ≤ 1。n表示要回答的問題的個數，t表示遊戲者能正確回答問題的機率的下限。以兩個0表示輸入結束。

輸出

對每個輸入n,t，輸出遊戲者採用最佳策略時所期望獲得的獎金，保留三位小數。

範例輸入

1 0.5
1 0.3
2 0.6
0 0

範例輸出

1.500
1.357
2.560

這個題目從一開始思路上就有問題，後來結合別人的解題報告來看，終於明白是怎麼回事了，而且也突然發現，貌似我適合冒險但不適合賭博……

    我們不妨設a[i]表示正確做完第i道題的收益的期望，顯然我們最後要求的就是a[0]咯，但這個先放一放，我們先討論一下在做第i+1個題目前我們是選擇答題呢還是選擇放棄呢。

    首先，我們可以直觀的想到，如果做完i題就退出的話，就可以得到2^i這麼多錢。不妨假設答對第i+1個題的機率為p，那麼我們自然會想到用p乘以“某個值”表示答題所獲得的收益的期望，如果p乘以這個值大於2^i的話，我們肯定會選擇答題咯，因為若是這樣答題的話收益的期望是大於不答題的。那麼現在問題就來了，這個“某個值”是什麼呢？可能的最大值？可能的最小值？還是平均值（或者說是期望）？

    如果做個比喻的話，選最大值的就是冒險狂，選最小值的就是膽小鬼，選平均值的就是接受過良好高等教育的ACMer，一開始我就成了冒險狂……

    後來想想，也確實只有平均值在統計裡面才比較有說服力，因此題目中所謂的plays the best strategy就是按我們上面所說的去決策每次究竟是答題還是不答題。上面我們只是對於p是固定值來討論的，如果我們對p是任意的去討論的話，顯然不答題的平均收益是不變的，因為它和p沒關係，仍是2^i，如果答題的話平均收益就應該是(ep+1)/2*a[i+1]，ep就是我們前面討論的“分水嶺”，用運算式寫出來就是ep=2^i/a[i+1]，當p>ep，那麼p*a[i+1]>2^i，也就是說如果答對這個題我就可以獲得a[i+1]這麼多錢，再乘答對的機率p就是答第i+1題的收益的期望，如果這個期望大於2^i，那麼就會選擇答題。當然題目中讓算的是總收益，我們再各自乘以答題與否這些情況出現的機率即可，即a[i]=(ep-t)/(1-t)*2^i+(t-ep)/(1-t)*(ep+1)/2*a[i+1]，這個式子值列出了ep>t的情況，對於ep<=t的情況，也可以類似寫出運算式。

    現在我們就發現了，計算a[i]是需要用到a[i+1]的，那我們怎麼辦？倒著算唄。那麼a[N]是多少？顯然是2^N，因為答對第N個題之後收益的期望自然就是最大的收益。

 

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>#define MX 35int N;double T, q[MX];int main(){    q[0] = 1;    for(int i = 1; i <= 30; i ++)         q[i] = 2 * q[i - 1];    while(1)    {          scanf("%d%lf", &N, &T);           if(!N)                 break;            if(fabs(1 - T) < 1e-9)                printf("%.3lf\n", q[N]);          else          {                int i, j, k;                double eq, f = 1, quit;                f = q[N];                for(i = N - 1; i >= 0; i --)                 {                     quit = q[i];                     eq = quit / f;                    if(eq <= T)                    f = (T + 1) / 2 * f;               else                       f = (eq - T) / (1 - T) * quit + (1 - eq) / (1 - T) * (eq + 1) / 2 * f;    }    printf("%.3lf\n", f);          }    }    return 0;}