求解矩陣特徵值及特徵向量

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矩陣特徵值

定義1：設A是n階矩陣，如果數和n維非零列向量使關係式成立，則稱這樣的數成為方陣A的特徵值，非零向量成為A對應於特徵值的特徵向量。

說明：1、特徵向量，特徵值問題是對方陣而言的。

　　　2、n階方陣A的特徵值，就是使齊次線性方程組有非零解的值，即滿足方程的都是矩陣A的特徵值。

　　　3、

 

定義2：A為n階矩陣，稱為A的特徵矩陣，其行列式為的n次多項式，稱為A的特徵多項式，稱為A的特徵方程。

說明：1、由定義得，是A的特徵值，等價於是其特徵方程的根，因此又稱為A的特徵根。若是的重根，則稱為A的重特徵值（根）。

　　　2、方程的任意非零解向量，都是對應於的特徵向量。

　　　3、A的特徵矩陣也可以表示為；

　　　　  特徵多項式也可以表示為；

　　　　  特徵方程也可以表示為。

          4、求A的特徵值就是求的根，求A的相應於的特徵向量就是求的非零解向量。

求矩陣A的特徵值及特徵向量問題就轉化為求解多項式方程以及齊次線性方程組的通解問題。

下面是一些練習：

例 求的特徵值和特徵向量

解 A的特徵多項式為

　 

                                 

    所以A的特徵值為，。

　當時，對應的特徵向量應滿足，

    即

　解得，所以對應的特徵向量可取為。故相應於的全體特徵向量為

    當時，由，即，解得，所以對應的特徵向量可取為。故相應於的全體特徵向量為

 

求解矩陣特徵值及特徵向量