最長遞增子序列的求解–動態規劃求解

動態規劃的基本思想(百度百科）

        動態規划算法通常用於求解具有某種最優性質的問題。在這類問題中，可能會有許多可行解。每一個解都對應於一個值，我們希望找到具有最優值的解。動態規划算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。與分治法不同的是，適合於用動態規劃求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的。若用分治法來解這類問題，則分解得到的子問題數目太多，有些子問題被重複計算了很多次。如果我們能夠儲存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，這樣就可以避免大量的重複計算，節省時間。我們可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以後是否被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中。這就是動態規劃法的基本思路。具體的動態規划算法多種多樣，但它們具有相同的填表格式

     動態規划算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。與分治法不同的是，適合於用動態規劃求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的。若用分治法來解這類問題，則分解得到的子問題數目太多，有些子問題被重複計算了很多次。如果我們能夠儲存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，這樣就可以避免大量的重複計算，節省時間。我們可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以後是否被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中。這就是動態規劃法的基本思路。
最長遞增子序列問題

給定一個序列 An = a1 ,a2 ,  ... , an ，找出最長的子序列使得對所有 i < j ，ai < aj 。

轉移方程：b[k]=max(max(b[j] | a[j]<a[k], j<k)+1,1);

如data[] = { 1, 9, 3, 8, 11, 4, 5, 6, 4, 1, 9, 7, 1, 7 }, 則data的最長遞增子序列為1 3 4 5 6 9

代碼如下：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <vector>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;/////////////////////////////////// auxArrLen's element: the len before data[i]'s longest sequence's len// auxArrIndex's element: the index of the maxest len in auxArrLen  // which is smaller than auxArrlen[i]'s value ////////////////////////////////int dp_lcs(int *data, int *retData, int len, int *maxLen){int auxArrLen[len], auxArrIndex[len];int i = 0, j = 0, curMaxSeqLen = 0;int maxIndex = 0;fill(&auxArrLen[0], &auxArrLen[len], 1);fill(&auxArrIndex[0], &auxArrIndex[len], -1);for(i=0; i<len; i++){for(j=0; j<i; j++){if(data[j]<data[i]){curMaxSeqLen = auxArrLen[j] + 1;if(curMaxSeqLen>auxArrLen[i]){auxArrLen[i] = curMaxSeqLen;auxArrIndex[i] = j;}}}}//find the maxlen and the index in auxArrIndexfor(i=0; i<len; i++){if(auxArrLen[i]>*maxLen){*maxLen = auxArrLen[i];maxIndex = i;}} //asign the retData's elementsfor(i=*maxLen-1; i>=0; i--){retData[i] = data[maxIndex];maxIndex = auxArrIndex[maxIndex];}}int main(void){int data[] = { 1, 9, 3, 8, 11, 4, 5, 6, 4, 1, 9, 7, 1, 7 };int retData[10] = { 0 };int maxLen = 0, i = 0;const int len = 14;dp_lcs(data, retData, len, &maxLen);for(i=0; i<maxLen; i++)cout << retData[i] << " ";cout << endl;return 0;}