關於歐拉通路、歐拉迴路的一些定理,推論

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關於歐拉通路、歐拉迴路的一些定義：

無向圖：
G是一個連通的無向圖
（1）經過G的每條邊一次並且僅一次的路徑為歐拉通路（起點和終點不一定要一樣）。
（2）如果歐拉通路是迴路（起點和終點是同一個），則為歐拉迴路。
（3）具有歐拉迴路的無向圖G稱為歐拉圖。

有向圖：
D是一個有向圖，D的基圖（把D的有向邊改為無向邊）是連通的
（1）經過D的每條邊一次並且僅一次的路徑稱為有向歐拉通路（起點和終點不一定一樣）。
（2）如果有向歐拉通路是迴路（起點和終點一樣），那麼稱為有向歐拉通路。
（3）具有有向歐拉通路的有向圖D稱為有向歐拉圖。

關於歐拉通路、歐拉迴路的判定：

無向圖G存在歐拉通路的充分必要條件：G為連通圖，並且G僅有兩個奇度結點（度數為奇數的節點）或者無奇度結點。
推論1：當無向圖G是有兩個奇度的連通圖時，G的歐拉通路必定以這兩個結點為端點。
推論2：當無向圖G是無奇度的連通圖時，G必有歐拉迴路。
推論3：無向圖G存在歐拉迴路的充分必要條件：G為無奇度結點的連通圖，並且G僅有兩個奇度結點（度數為奇數的節點）或者無奇度結點。

有向圖D存在有向歐拉通路的充分必要條件：D為有向圖，D的基圖連通，並且所有頂點的出度與入度都相等（情況1）；或者除了兩個定點外，其餘頂點的出度與入度都相等，而這兩個頂點中，一個頂點的出度與入度之差為1，另一個出度與入度只差為-1（情況2）。
推論（1）：情況1說明存在的是有向歐拉迴路。
推論（2）：情況2說明存在的是有向歐拉通路，通路以出度與入度之差為1的頂點作為起點，以出度與入度之差為-1的頂點作為終點。
推論（3）：有向圖D存在有向歐拉迴路的充分必要條件：D的基圖為連通圖，並且所有頂點的出入與入度都相等。

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