排序演算法(3)--Insert Sorting--插入排序[3]--Shell Sort--希爾排序

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1.基本思想

　　希爾排序是把記錄按下標的一定增量分組，對每組使用直接插入排序演算法排序；隨著增量逐漸減少，每組包含的關鍵詞越來越多，當增量減至1時，整個檔案恰被分成一組，演算法便終止。

2.實現原理

　　對於n個待排序的數列，取一個小於n的整數gap(gap被稱為步長)將待排序元素分成若干個組子序列，所有距離為gap的倍數的記錄放在同一個組中；然後，對各組內的元素進行直接插入排序。 這一趟排序完成之後，每一個組的元素都是有序的。然後減小gap的值，並重複執行上述的分組和排序。重複這樣的操作，當gap=1時，整個數列就是有序的。

3.代碼執行個體 (1)代碼:

   /**     * 對希爾排序中的單個組進行排序     * <p>     * 參數說明：     * a -- 待排序的數組     * n -- 數組總的長度     * i -- 組的起始位置     * gap -- 組的步長     * <p>     * 組是"從i開始，將相隔gap長度的數都取出"所組成的！     */    public static void groupSort(int[] a, int n, int i, int gap) {        //列印分組        System.out.print("gap="+gap+" [");        //列印第一個比較的元素        System.out.print(a[i]);        //直接插入排序        for (int j = i + gap; j < n; j += gap) {            //被比較的元素            System.out.print(" "+a[j]);            // 如果a[j] < a[j-gap]，則尋找a[j]位置，並將後面資料的位置都後移。            if (a[j] < a[j - gap]) {                int tmp = a[j];                int k = j - gap;                while (k >= 0 && a[k] > tmp) {                    a[k + gap] = a[k];                    k -= gap;                }                a[k + gap] = tmp;//                System.out.print(" ("+a[j]+"<-->"+a[j-gap]+")");            }        }        System.out.println("]");    }    /**     * 希爾排序     * <p>     * 參數說明：     * a -- 待排序的數組     * n -- 數組的長度     */    public static void shellSort(int[] a, int n) {        // gap為步長，每次減為原來的一半。        for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) {            // 共gap個組，對每一組都執行直接插入排序            for (int i = 0; i < gap; i++)                groupSort(a, n, i, gap);            System.out.printf("after sort:");            for (int i = 0; i < a.length; i++)                System.out.printf("%d ", a[i]);            System.out.println();            System.out.println();        }    }    public static void main(String[] args) {        int i;        int a[] = {80, 30, 60, 40, 20, 10, 50, 70,100};        System.out.printf("before sort:");        for (i = 0; i < a.length; i++)            System.out.printf("%d ", a[i]);        System.out.println();        System.out.println();        shellSort(a, a.length);    }

(2)結果:

before sort:80 30 60 40 20 10 50 70 100

gap=4 [80 20 100]

gap=4 [30 10]

gap=4 [60 50]

gap=4 [40 70]

after sort:20 10 50 40 80 30 60 70 100

gap=2 [20 50 80 60 100]

gap=2 [10 40 30 70]

after sort:20 10 50 30 60 40 80 70 100

gap=1 [20 10 50 30 60 40 80 70 100]

after sort:10 20 30 40 50 60 70 80 100

 

4.演算法分析 (1)希爾排序時間複雜度

　　希爾排序的時間複雜度與增量(即，步長gap)的選取有關。例如，當增量為1時，希爾排序退化成了直接插入排序，此時的時間複雜度為O(N²)，而Hibbard增量的希爾排序的時間複雜度為O(N3/2)。

(2)希爾排序空間複雜度

　　空間複雜度是O(1) 因為只有一個緩衝單元。

(3)希爾排序穩定性

　　希爾排序是不穩定的演算法，它滿足穩定演算法的定義。對於相同的兩個數，可能由於分在不同的組中而導致它們的順序發生變化。

　　演算法穩定性 -- 假設在數列中存在a[i]=a[j]，若在排序之前，a[i]在a[j]前面；並且排序之後，a[i]仍然在a[j]前面。則這個排序演算法是穩定的！

5.排序特點

  我們知道一次插入排序是穩定的，但在不同的插入排序過程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移動，最後其穩定性就會被打亂，所以希爾排序是不穩定的。

　　希爾排序的時間效能優於直接插入排序，原因如下：

　　（1）當檔案初態基本有序時直接插入排序所需的比較和移動次數均較少。

　　（2）當n值較小時，n和n2的差別也較小，即直接插入排序的最好時間複雜度O(n)和最壞時間複雜度0(n2)差別不大。

　　（3）在希爾排序開始時增量較大，分組較多，每組的記錄數目少，故各組內直接插入較快，後來增量di逐漸縮小，分組數逐漸減少，而各組的記錄數目逐漸增多，但由於已經按di-1作為距離排過序，使檔案較接近於有序狀態，所以新的一趟排序過程也較快。

　　因此，希爾排序在效率上較直接插人排序有較大的改進。

　希爾排序的平均時間複雜度為O(nlogn)。

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