原碼、反碼、補碼、移碼

文章目錄

• 一、原碼、反碼、補碼的定義
• 二、補碼加、減運算規則
• 一、浮點數的運算規則

一、原碼、反碼、補碼的定義

1、原碼的定義

①小數原碼的定義 

	[X]原=		X	0≤X ＜1
			1－ X	－1 ＜ X ≤ 0

 例如： X=+0.1011 , [X]原= 01011
        X=－0.1011  [X]原= 11011

②整數原碼的定義

	[X]原=		X	0≤X ＜2n
			2n－X	－ 2n ＜ X ≤ 0

2、補碼的定義

①小數補碼的定義

	[X]補=		X	0≤X ＜1
			2＋ X	－1 ≤ X ＜ 0

例如：  X=+0.1011,   [X]補= 01011
        X=－0.1011,  [X]補= 10101

②整數補碼的定義 

	[X]補=		X	0≤X ＜2n
			2n+1＋X	－ 2n ≤ X ＜ 0

3、反碼的定義

①小數反碼的定義 

	[X]反=		X	0≤X ＜1
			2－2n-1－X	－1 ＜ X ≤ 0

 

例如：   X=+0.1011      [X]反= 01011
         X=－0.1011     [X]反= 10100

②整數反碼的定義

	[X]反=		X	0≤X ＜2n
			2n+1－1－X	－ 2n ＜ X ≤ 0

4.移碼：移碼只用於表示浮點數的階碼，所以只用於整數。

①移碼的定義：設由1位符號位和n位元值位組成的階碼，則 [X]移=2n + X     -2n≤X ≤ 2n
例如： X=＋1011     [X]移=11011     符號位“1”表示正號
              X=－1011     [X]移=00101     符號位“0”表示負號

②移碼與補碼的關係： [X]移與[X]補的關係是符號位互為反碼，
例如： X=＋1011     [X]移=11011     [X]補=01011 
              X=－1011     [X]移=00101     [X]補=10101 

③移碼運算應注意的問題：
◎對移碼運算的結果需要加以修正，修正量為2n ，即對結果的符號位取反後才是移碼形式的正確結果。
◎移碼錶示中，0有唯一的編碼——1000…00，當出現000…00時（表示－2n），屬於浮點數下溢。

二、補碼加、減運算規則1、運算規則

[X＋Y]補= [X]補＋ [Y]補
[X－Y]補= [X]補＋ [－Y]補

若已知[Y]補，求[－Y]補的方法是：將[Y]補的各位（包括符號位）逐位取反再在最低位加1即可。
例如：[Y]補= 101101 [－Y]補= 010011 

2、溢出判斷，一般用雙符號位進行判斷：

符號位00 表示正數 11 表示負數
結果的符號位為01時，稱為上溢；為10時，稱為下溢

例題：設x=0.1101，y=－0.0111，符號位為雙符號位
用補碼求x+y，x－y 
[x]補+[y]補=00 1101+11 1001=00 0110 
[x－y]補=[x]補+[－y]補=00 1101+00 0111=01 0100
結果錯誤，正溢出三、原碼一位乘的實現：

設X=0.1101，Y=－0. 1011，求X*Y
解：符號位單獨處理， x符＋ y符
數值部分用原碼進行一位乘，如所示：
   

	高位部分積	低位部分積/乘數			說明
	0 0 0 0 0 0	1 0 1 1			起始情況
	＋） 0 0 1 1 0 1				乘數最低位為1，+X
	0 0 1 1 0 1
	0 0 0 1 1 0	1 1 0 1		1(丟)	右移部分積和乘數
	＋） 0 0 1 1 0 1				乘數最低位為1，+X
	0 1 0 0 1 1
	0 0 1 0 0 1	1 1 1 0		1(丟)	右移部分積和乘數
	＋） 0 0 0 0 0 0				乘數最低位為0，+0
	0 0 1 0 0 1
	0 0 0 1 0 0	1 1 1 1		0(丟)	右移部分積和乘數
	＋） 0 0 1 1 0 1				乘數最低位為1，+X
	0 1 0 0 0 1
	0 0 1 0 0 0	1 1 1 1		1(丟)	右移部分積和乘數

四、原碼一位除的實現：一般用不恢複餘數法（加減交替法）

	部分積	低位部分積 附加位			操作說明
	0 0 0 0 0 0	1 0 1 1			起始情況
	＋） 0 0 0 0 0 0				乘數最低位為1，+X
	0 0 0 0 0 0
	0 0 0 0 0 0	1 1 0 1		1(丟)	右移部分積和乘數
	＋） 1 1 0 0 1 1				乘數最低位為1，+X
	0 1 0 0 1 1
	0 0 1 0 0 1	1 1 1 0		1(丟)	右移部分積和乘數
	＋） 0 0 0 0 0 0				乘數最低位為0，+0
	0 0 1 0 0 1
	0 0 0 1 0 0	1 1 1 1		0(丟)	右移部分積和乘數
	＋） 0 0 1 1 0 1				乘數最低位為1，+X
	0 1 0 0 0 1
	0 0 1 0 0 0	1 1 1 1		1(丟)	右移部分積和乘數

§2.5 浮點運算與浮點運算器

一、浮點數的運算規則1、浮點加減法的運算步驟

設兩個浮點數 X=Mx※2Ex Y=My※2Ey
實現X±Y要用如下5步完成：
①對階操作：小階向大階看齊
②進行尾數加減運算
③規格化處理：尾數進行運算的結果必須變成規格化的浮點數，對於雙符號位的補碼尾數來說，就必須是
001×××…×× 或110×××…××的形式
若不符合上述形式要進行左規或右規處理。

④舍入操作：在執行對階或右規操作時常用“0”舍“1”入法將右移出去的尾數數值進行舍入，以確保精度。
⑤判結果的正確性：即檢查階碼是否溢出
若階碼下溢（移碼錶示是00…0），要置結果為機器0；
若階碼上溢（超過了階碼錶示的最大值）置溢出標誌。

例題：假定X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10（此處的數均為二進位） ?? 計算X+Y；
解：[X]浮： 0 1 010 1100110
    [Y]浮： 0 0 110 1101101
            符號位 階碼 尾數

第一步：求階差： │ΔE│=|1010-0110|=0100
第二步：對階：Y的階碼小， Y的尾數右移4位
        [Y]浮變為 0 1 010 0000110 1101暫時儲存 
第三步：尾數相加，採用雙符號位的補碼運算 
    00 1100110 
   +00 0000110 
    00 1101100
第四步規格化：滿足規格化要求 
第五步：舍入處理，採用0舍1入法處理
故最終運算結果的浮點數格式為： 0 1 010 1101101，
即X+Y=+0. 1101101*210 

2、浮點乘除法的運算步驟

①階碼運算：階碼求和（乘法）或階碼求差（除法）
    即  [Ex+Ey]移= [Ex]移+ [Ey]補 
        [Ex－Ey]移= [Ex]移+ [－Ey]補

②浮點數的尾數處理：浮點數中尾數乘除法運算結果要進行舍入處理
例題：X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10
求X※Y
解：[X]浮： 0 1 010 1100110
    [Y]浮： 0 0 110 1101101
第一步：階碼相加 
[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]補=1 010+1 110=1 000 
1 000為移碼錶示的0
第二步：原碼尾數相乘的結果為：
0 10101101101110
第三步：規格化處理：已滿足規格化要求，不需左規，尾數不變，階碼不變。
第四步：舍入處理：按舍入規則，加1進行修正
所以 X※Y= 0.1010111※2+000