原碼、反碼、補碼

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補碼的設計目的是:

⑴使符號位能與有效值部分一起參加運算,從而簡化運算規則.
⑵使減法運算轉換為加法運算,進一步簡化電腦中運算器的線路設計
 1、原碼、反碼和補碼的表示方法 
 （1）    原碼：
            在數值前直接加一符號位的標記法。
            例如：      符號位 數值位
            [+7]原=   0    0000111 B
            [-7]原=   1    0000111 B

（3）補碼的表示方法1）模的概念：把一個計量單位稱之為模或模數。例
如，時鐘是以12進位進行計數迴圈的，即以12為模。在時鐘上，時針加上（正撥）12的整數位或減去（反撥）12的整數位，時針的位置不變。14點鐘在舍
去模12後，成為（下午）2點鐘（14=14-12=2）。從0點出發逆時針撥10格即減去10小時，也可看成從0點出發順時針撥2格（加上2小時），即
2點（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射為+2。由此可見，對於一個模數為12的迴圈系統來說，加2和減10
的效果是一樣的；因此，在以12為模的系統中，凡是減10的運算都可以用加2來代替，這就把減法問題轉化成加法問題了（註：電腦的硬體結構中只有加法
器，所以大部分的運算都必須最終轉換為加法）。10和2對模12而言互為補數。同理，電腦的運算組件與寄存器都有一定字長的限制（假設字長為8），因此它的運算也是一種模運算。當計數器計滿8位也就是256個數後會產生溢出，又從頭開始計數。產生溢出的量就是計數器的模，顯然，8位位元，它的模數為28=256。在計算中，兩個互補的數稱為“補碼”。 2）補碼的表示：    正數：正數的補碼和原碼相同。    負數         負數：負數的補碼則是符號位為“1”，數值部分按位取反後再在末位（最低位）加1。也就是“反碼+1”。例如：       符號位 數值位      [+7]補=   0   0000111 B      [-7 ]補=   1   1111001 B補碼在微型機中是一種重要的編碼形式，請注意：a.             採用補碼後，可以方便地將減法運算轉化成加法運算，運算過程得到簡化。正數的補碼即是它所表示的數的真值，而負數的補碼的數值部份卻不是它所表示的數的真值。採用補碼進行運算，所得結果仍為補碼。b.            與原碼、反碼不同，數值0的補碼只有一個，即       [0]補=00000000B。c.             若字長為8位，則補碼所表示的範圍為-128～+127；進行補碼運算時，應注意所得結果不應超過補碼所能表示數的範圍。2．原碼、反碼和補碼之間的轉換由於正數的原碼、補碼、反碼錶示方法均相同，不需轉換。在此，僅以負數情況分析。（1）    已知原碼，求補碼。例：已知某數X的原碼為10110100B，試求X的補碼和反碼。解：由[X]原=10110100B知，X為負數。求其反碼時，符號位不變，數值部分按位求反；求其補碼時，再在其反碼的末位加1。1 0 1 1 0 1 0 0   原碼 1 1 0 0 1 0 1 1   反碼，符號位不變，數值位取反                     1   +11 1 0 0 1 1 0 0   補碼故：[X]補=11001100B，[X]反=11001011B。（2）    已知補碼，求原碼。分析：按照求負數補碼的逆過程，數值部分應是最低位減1，然後取反。但是對位元來說，先減1後取反和先取反後加1得到的結果是一樣的，故仍可採用取反加1 有方法。例：已知某數X的補碼11101110B，試求其原碼。解：由[X]補=11101110B知，X為負數。求其原碼錶示時，符號位不變，數值部分按位求反，再在末位加1。1 1 1 0 1 1 1 0   補碼 1 0 0 1 0 0 0 1   符號位不變，數值位取反                     1   +11 0 0 1 0 0 1 0   原碼1．3．2 有符號數運算時的溢出問題請大家來做兩個題目：

兩正數相加怎麼變成了負數？？？

1）（+72）+（+98）=？

0 1 0 0 1 0 0 0 B    +72     + 0 1 1 0 0 0 1 0 B    +98        1 0 1 0 1 0 1 0 B    -42

兩負數相加怎麼會得出正數？？？

2）（-83）+（-80）=？

1 0 1 0 1 1 0 1 B    -83     + 1 0 1 1 0 0 0 0 B    -80        0 1 0 1 1 1 0 1 B    +93  思考：這兩個題目，按照正常的法則來運算，但結果顯然不正確，這是怎麼回事呢？   答案：這是因為發生了溢出。如果電腦的字長為n位，n位位元的最高位為符號位，其餘n-1位為數值位，採用補碼錶示法時，可表示的數X的範圍是   -2n-1≤X≤2n-1-1當n=8時，可表示的有符號數的範圍為-128～+127。兩個有符號數進行加法運算時，如果運算結果超出可表示的有符號數的範圍時，就會發生溢出，使計算結果出錯。很顯然，溢出只能出現在兩個同符號數相加或兩個異符號數相減的情況下。對
於加法運算，如果次高位（數值部分最高位）形成進位加入最高位，而最高位（符號位）相加（包括次高位的進位）卻沒有進位輸出時，或者反過來，次高位沒有進
位加入最高位，但最高位卻有進位輸出時，都將發生溢出。因為這兩種情況是：兩個正數相加，結果超出了範圍，形式上變成了負數；兩負數相加，結果超出了範
圍，形式上變成了正數。而對於減法運算，當次高位不需從最高位借位，但最高位卻需借位（正數減負數，差超出範圍），或者反過來，次高位需從最高位借位，但最高位不需借位（負數減正數，差超出範圍），也會出現溢出。在
電腦中，資料是以補碼的形式儲存的，所以補碼在c語言的教學中有比較重要的地位，而講解補碼必須涉及到原碼、反碼。本部分示範作何一個整數的原碼、反
碼、補碼。過程與結果顯示在列表框中，結果比較少，不必自動清除，而過程是相同的，沒有必要清除。故需設清除各部分及清除全部的按鈕。測試時注意最大、最
小正負數。使用者使用時注意講解不會溢出：當有一個數的反碼的全部位是1才會溢出，那麼它的原碼是10000...，它不是負數，故不會溢出。

在n位的機器數中，最高位為符號位，該位為零表示為正，為一表示為負；其餘n-1位為數值位，各位的值可為零或一。當真值為正時，原碼、反碼、補碼數值位
完全相同；當真值為負時，原碼的數值位保持原樣，反碼的數值位是原碼數值位的各位取反，補碼則是反碼的最低位加一。注意符號位不變。

            注意：
               a. 數0的原碼有兩種形式：
                  [+0]原=00000000B    
                  [-0]原=10000000B               b. 8位二進位原碼的表示範圍：-127～+127
 （2）反碼:
         正數：正數的反碼與原碼相同。
         負數：負數的反碼，符號位為“1”，數值部分按位取反。
         例如：     符號位 數值位
         [+7]反= 0   0000111 B
         [-7]反= 1   1111000 B
         注意：
            a. 數0的反碼也有兩種形式，即
               [+0]反=00000000B
               [- 0]反=11111111B
            b. 8位二進位反碼的表示範圍：-127～+127