Splay伸展樹&模板__function

伸展樹操作詳解 http://wenku.baidu.com/view/cc211f126edb6f1aff001f16.html?from=rec&pos=4&weight=9&lastweight=9&count=5

The Magical Splay http://wenku.baidu.com/view/a202e27931b765ce05081416.html

BST 拓展與伸展樹 (Splay) 一日通 http://wenku.baidu.com/view/f3fbe687b9d528ea81c779b6.html?from=rec&pos=4&weight=10&lastweight=10&count=5

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一、簡介：
伸展樹，或者叫自適應尋找樹，是一種用於儲存有序集合的簡單高效的資料結構。伸展樹實質上是一個二叉尋找樹。允許尋找，插入，刪除，刪除最小，刪除最大，分割，合并等許多操作，這些操作的時間複雜度為O(logN)。由於伸展樹可以適應需求序列，因此他們的效能在實際應用中更優秀。
伸展樹支援所有的二叉樹操作。伸展樹不保證最壞情況下的時間複雜度為O(logN)。伸展樹的時間複雜度邊界是均攤的。儘管一個單獨的操作可能很耗時，但對於一個任意的操作序列，時間複雜度可以保證為O(logN)。

二、自調整和均攤分析：
    平衡尋找樹的一些限制：
1、平衡尋找樹每個節點都需要儲存額外的資訊。
2、難於實現，因此插入和刪除操作複雜度高，且是潛在的錯誤點。
3、對於簡單的輸入，效能並沒有什麼提高。
    平衡尋找樹可以考慮提高效能的地方：
1、平衡尋找樹在最差、平均和最壞情況下的時間複雜度在本質上是相同的。
2、對一個節點的訪問，如果第二次訪問的時間小於第一次訪問，將是非常好的事情。
3、90-10法則。在實際情況中，90%的訪問發生在10%的資料上。
4、處理好那90%的情況就很好了。
三、均攤時間邊界：
在一顆二叉樹中訪問一個節點的時間複雜度是這個節點的深度。因此，我們可以重構樹的結構，使得被經常訪問的節點朝樹根的方向移動。儘管這會引入額外的操作，但是經常被訪問的節點被移動到了靠近根的位置，因此，對於這部分節點，我們可以很快的訪問。根據上面的90-10法則，這樣做可以提高效能。
為了達到上面的目的，我們需要使用一種策略──旋轉到根(rotate-to-root)。具體實現如下：
旋轉分為左旋和右旋，這兩個是對稱的。圖示：
 
為了敘述的方便，上圖的右旋叫做X繞Y右旋，左旋叫做Y繞X左旋。
下圖展示了將節點3旋轉到根：
 
                            圖1
首先節點3繞2左旋，然後3繞節點4右旋。
注意：所尋找的資料必須符合上面的90-10法則，否則效能上不升反降。。
四、基本的自底向上伸展樹：
    應用伸展（splaying）技術，可以得到對數均攤邊界的時間複雜度。
    在旋轉的時候，可以分為三種情況：
1、zig情況。
    X是尋找路徑上我們需要旋轉的一個非根節點。
    如果X的父節點是根，那麼我們用下圖所示的方法旋轉X到根：
     
                                圖2
    這和一個普通的單旋轉相同。
2、zig-zag情況。
在這種情況中，X有一個父節點P和祖父節點G（P的父節點）。X是右子節點，P是左子節點，或者反過來。這個就是雙旋轉。
先是X繞P左旋轉，再接著X繞G右旋轉。
如圖所示：
 
                            圖三
3、zig-zig情況。
    這和前一個旋轉不同。在這種情況中，X和P都是左子節點或右子節點。
    先是P繞G右旋轉，接著X繞P右旋轉。
    如圖所示：
     
                                    圖四
    下面是splay的虛擬碼：
    P(X) : 獲得X的父節點，G(X) : 獲得X的祖父節點（=P(P(X))）。
    Function Buttom-up-splay:
        Do
            If X 是 P(X) 的左子結點 Then
                If G(X) 為空白 Then
                    X 繞 P（X）右旋
                Else If P（X）是G（X）的左子結點
                    P(X) 繞G(X)右旋
                    X 繞P(X)右旋
                Else
                    X繞P(X)右旋
                    X繞P(X)左旋 (P(X)和上面一句的不同，是原來的G(X))
                Endif
            Else If X 是 P(X) 的右子結點 Then
                If G(X) 為空白 Then
                    X 繞 P（X）左旋
                Else If P（X）是G（X）的右子結點
                    P(X) 繞G(X)左旋
                    X 繞P(X)左旋
                Else
                    X繞P(X)左旋
                    X繞P(X)右旋 (P(X)和上面一句的不同，是原來的G(X))
                Endif 
            Endif
        While (P(X) != NULL)
    EndFunction
    仔細分析zig-zag，可以發現，其實zig-zag就是兩次zig。因此上面的代碼可以簡化：
    Function Buttom-up-splay:
        Do
            If X 是 P(X) 的左子結點 Then
                If P（X）是G（X）的左子結點
                    P(X) 繞G(X)右旋
                Endif
                X 繞P(X)右旋
            Else If X 是 P(X) 的右子結點 Then
                If P（X）是G（X）的右子結點
                    P(X) 繞G(X)左旋
                Endif 
                X 繞P(X)左旋
            Endif
        While (P(X) != NULL)
    EndFunction
    下面是一個例子，旋轉節點c到根上。 
 
                                    圖五
五、基本伸展樹操作：
1、插入：
    當一個節點插入時，伸展操作將執行。因此，新插入的節點在根上。
2、尋找：
    如果尋找成功（找到），那麼由於伸展操作，被尋找的節點成為樹的新根。
如果尋找失敗（沒有），那麼在尋找遇到NULL之前的那個節點成為新的根。也就是，如果尋找的節點在樹中，那麼，此時根上的節點就是距離這個節點最近的節點。
3、尋找最大最小：
        尋找之後執行伸展。
4、刪除最大最小：
a)刪除最小：
    首先執行尋找最小的操作。
這時，要刪除的節點就在根上。根據二叉尋找樹的特點，根沒有左子節點。
使用根的右子結點作為新的根，刪除舊的包含最小值的根。
b)刪除最大：
首先執行尋找最大的操作。
刪除根，並把被刪除的根的左子結點作為新的根。
5、刪除：
        將要刪除的節點移至根。
        刪除根，剩下兩個子樹L（左子樹）和R（右子樹）。
        使用DeleteMax尋找L的最大節點，此時，L的根沒有右子樹。
        使R成為L的根的右子樹。
        如下圖示：
         
                                圖六
六、自頂向下的伸展樹：
    在自底向上的伸展樹中，我們需要求一個節點的父節點和祖父節點，因此這種伸展樹難以實現。因此，我們可以構建自頂向下的伸展樹。
    當我們沿著樹向下搜尋某個節點X的時候，我們將搜尋路徑上的節點及其子樹移走。我們構建兩棵臨時的樹──左樹和右樹。沒有被移走的節點構成的樹稱作中樹。在伸展操作的過程中：
1、當前節點X是中樹的根。
2、左樹L儲存小於X的節點。
3、右樹R儲存大於X的節點。
開始時候，X是樹T的根，左右樹L和R都是空的。和前面的自下而上相同，自上而下也分三種情況：
1、zig：
 
                                圖七
    如上圖，在搜尋到X的時候，所尋找的節點