Splay Tree(伸展樹)

假設想要對一個二叉尋找樹執行一系列的尋找操作。為了使整個尋找時間更小，被查頻率高的那些條目就應當經常處於靠近樹根的位置。於是想到設計一個簡單方法，在每次尋找之後對樹進行重構，把被尋找的條目搬移到離樹根近一些的地方。splay tree應運而生。splay tree是一種自調整形式的二叉尋找樹，它會沿著從某個節點到樹根之間的路徑，通過一系列的旋轉把這個節點搬移到樹根去。

重構方法

1、單旋：在尋找完位於節點x中的條目i之後，旋轉連結x和其父節點的邊。（除非x就是樹根）
2、搬移至樹根：在尋找完位於節點x中的條目i之後，旋轉連結x和其父節點的邊，然後重複這個操作直至x成為樹根。
splay tree的重構方法和搬移至樹根的方法相似，它也會沿著尋找路徑做自底向上的旋轉，將被尋找條目移至樹根。但不同的是，它的旋轉是成對進行的，順序取決於尋找路徑的結構。為了在節點x處對樹進行splay操作，我們需要重複下面的步驟，直至x成為樹根為止：
1、第一種情況：如果x的父節點p(x)是樹根，則旋轉串連x和p(x)的邊。（這種情況是最後一步）
2、第二種情況：如果p(x)不是樹根，而且x和p(x)本身都是左孩子或者都是右孩子，則先旋轉串連p(x)和x的祖父節點g(x)的邊，然後再旋轉串連x和p(x)的邊。
3、第三種情況：如果p(x)不是樹根，而且x是左孩子，p(x)是右孩子，或者相反，則先旋轉串連x和p(x)的邊，再旋轉串連x和新的p(x)的邊。
在節點x處進行splay操作的時間是和尋找x所需的時間成比例的。splay操作不單是把x搬移到了樹根，而且還把尋找路徑上的每個節點的深度都大致減掉了一半。

splay tree支援的操作

1、access(i,t):如果i在樹t中，則返回指向它的指標，否則返回null 指標。為了實現access(i,t)，可以從樹t的根部向下尋找i。如果尋找操作遇到了一個含有i的節點x，就在x處進行splay操作，並返回指向x的指標，訪問結束。如果遇到了null 指標，表示i不在樹中，此時就在最後一個非空節點處進行splay操作，然後返回null 指標。如果樹是空的，將忽略掉splay操作。
2、insert(i,t):將條目i插入樹t中（假設其尚不存在）。為了實現insert(i,t)，首先執行split(i,t)，然後把t換成一個由新的包含有i的根節點組成的樹，這個根節點的左右子樹分別是split返回的樹t1和t2。
3、delete(i,t):從樹t中刪除條目i（假設其已經存在）。為了實現delete(i,t)，首先執行access(i,t)，然後把t換成其左子樹和右子樹join之後的新樹。
4、join(t1,t2):將樹t1和t2合并成一棵樹，其中包含之前兩棵樹的所有條目，並返回合并之後的樹。這個操作假設t1中的所有條目都小於t2中的條目，操作完成之後會銷毀t1和t2。為了實現join(t1,t2)，首先訪問t1中最大的條目i。訪問結束之後，t1的根節點中包含的就是i，它的右孩子顯然為空白。於是把t2作為這個根節點的右子樹並返回完成之後的新樹即可實現join操作。
5、split(i,t):構建並返回兩棵樹t1和t2，其中t1包含t中所有小於等於i的條目，t2包含t中所有大於i的條目。操作完成之後銷毀t。為了實現split(i,t)，首先執行access(i,t)，然後根據新根節點中的值是大於還是小於等於i來切斷這個根節點的左連結或右連結，並返回形成的兩棵樹。

Splay Tree的優勢所在

由於Splay Tree僅僅是不斷調整，並沒有引入額外的標記，因而樹結構與標準BST沒有任何不同，從空間角度來看，它比Treap、Red-Black Tree、AVL要高效得多。因為結構不變，因此只要是通過左旋和右旋進行的操作對Splay Tree性質都沒有絲毫影響，因而它也提供了BST中最豐富的功能，包括快速的拆分和合并（這裡指的是將原樹拆分成兩棵子樹，其中一棵子樹所有節點都比另一子樹小，以及它的逆過程），並且實現極為便捷。這一點是其它結構較難實現的。其時間效率也相當穩定，和Treap基本相當。