SICP-換零錢方法的統計

標籤：遞迴   sicp   演算法   

【問題】

現有半美元、四分之一美元、10美分、5美分和1美分共5種硬幣。若將1美元換成零錢，共有多少種不同方式？

【思路】

採用遞迴過程，假定我們所考慮的可用硬幣類型種類排了某種順序，於是就有下面的關係：

將總數為a的現金換成n中硬幣的不同方式的數目等於

• 將現金數a換成除第一種硬幣之外的所有其他硬幣的不同方式數目，加上
• 將現金數a-d換成所有種類的硬幣的不同方式數目，其中的d是第一種硬幣的幣值。

注意這裡將換零錢分成兩組時所採用的方式，第一組裡面都沒有使用第一種硬幣，而第二組裡面都使用了第一種硬幣。顯然，換成零錢的全部方式的數目，就等於完全不用第一種硬幣的方式的數目，加上用了第一種硬幣的換零錢方式的數目。而後一個數目也就等於去掉一個第一種硬幣值後，剩下的現金數的換零錢方式數目。這樣就可以將某個給定現金數的換零錢方式的問題，遞迴地歸約為對更少現金數或者更少種類硬幣的同一個問題。仔細考慮上面的歸約規則，如果採用下面方式處理退化情況，我們就能利用上面規則寫出一個演算法：

• 如果a就是0，應該算作是有1種換零錢的方式。
• 如果a小於0，應該算作是有0種換零錢的方式。
• 如果n是0，應該算作是有0種換零錢的方式。

【代碼實現】

<span style="font-size:14px;">#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int denomination(int kinds){switch (kinds){case 1: return 1;case 2: return 5;case 3: return 10;case 4: return 25;case 5: return 50;}}int countChange(int amount, int kinds){if (amount == 0)return 1;if (amount < 0 || kinds == 0)return 0;return (countChange(amount, kinds - 1) + countChange((amount - denomination(kinds)), kinds));}</span>