串的模式比對演算法——KMP

聲明原文連結：http://www.inf.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/pattern/kmpen.htm ；原文的“text”翻譯為主串，通常用S表示，長度為n；原文的"pattern"翻譯為模式串，通常用T表示，長度為m；括弧中是自己的一些注釋；思想在移動了模式串之後，原始的演算法（應該就是指普通的BF吧~）忽略了之前匹配的資訊，所以可能造成主串一遍又一遍的回溯，最壞情況下的複雜度為Θ(nm)
。KMP演算法利用了從之前的匹配中獲得的資訊，它不會重複比較匹配過的主串（也就是S的指標永遠不會回溯），所以它的複雜度為O(n)。無論如何，分析模式串的結構是非常必要的。這個過程的複雜度是O(m)，而 mn
，所以整個演算法的複雜度為O(n)。基本定義 定義：（首碼尾碼不再羅嗦了。。就是不包括同 x 串完全相等的，翻譯為真首碼和真尾碼）x串的border（不知道怎麼翻譯，保留），是這樣一個子串r，使得r  =  x 0 ... xb-1並且  r  =  xk-b ... xk-1  ， b  {0, ..., k-1}
（其實就是串 x 的前面一部分和後面一部分是相等的，相等部分的子串的長度是b，想想為什麼定義這個border，很好的思想哦~這樣主串的指標就不必回溯了~後面會說明~）x串的border即是真首碼，也是真尾碼，我們將b稱為x的border的長度。
比如：讓 x = “abacab”
真首碼：ε, a, ab, aba, abac, abaca
真尾碼：ε, b, ab, cab, acab, bacab
border：ε（長度是0）, ab（長度是2）

空串 ε 總是x的border，而它自己沒有border。

下面的例子說明了KMP演算法是怎樣根據一個串的border來決定移動的距離的。（說是移動的距離，體現在程式中，其實就是模式串的指標 j 要向前怎麼移動才能保證主串S的指標不回溯就能繼續判斷匹配）
例子：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
a b c a b c a b d
a b c a b d
          a b c a b d

可以看出0到4都匹配了，5沒有匹配，模式串可以移動三個位置（即不必判斷模式串的前兩位，指標 j 移動到第三位 c 的位置），主串的位置仍然保留在5。移動的距離是根據最長相符的首碼得到的，是該首碼的border長度的最大值。在這個例子中，最長相符首碼是abcab，它的長度是 j = 5.他最長的border是ab，長度是2，所以移動的距離是 j - b = 5 - 2 = 3.在這個過程中，每個模式串的首碼的最長的border值都可以得到。然後在尋找的過程中，移動距離就可以根據匹配的首碼計算出來了。過程理論： 讓r, s作為串 x 的border，並且滿足|r| < |s|，那麼r一定是s的border.證明： 展示了r，s作為兩個border 的串 x 。r是x的首碼，也是真首碼，因為它比s短。而r也是x的尾碼，因此，也是s的真尾碼。所以r是串s的border。                                             定義：讓 x 作為一個串， a 作為一個字母，如果ra是xa的border，那麼x的border就可以從
r 擴充到 ra（過程演算法的理論依據哦~稱為T1.1）。展示了這個過程：                                                                           在這個過程中，一個m+1為長度的數組會被計算出來。b[i]表示模式串（i = 0, ..., m）中長度為i的首碼的最長border的長度。由於空的首碼沒有border，所以我們將b[0] 置為-1。是擁有長度為b[i]的border的模式串的首碼。                                                                         假設b[0], ..., b[i] 的值都是已知的，b[i+1] 的值可以通過檢查首碼p0 ... pi-1 的border是否可以由pi擴充。這就是 pb[i] = pi 的情況，如。那麼borders就可以通過前面 b[i], b[b[i]] 等等的值計算出來。這個過程演算法包含一個 j 的迴圈。如果pj = pi 的話，長度為 j 的border又可以被 pi 擴充，否則pj <> pi的話，下一個最長的border 就能通過讓 j = b[j] 獲得。這個迴圈結束的條件是沒有border可以被擴充（j = -1)。在 j++語句之後，這個值就被寫入b[i+1]。（也就是說，根據T1.1，如果pj = pi，擴充後b[i+1] 的值就是b[i] 的值+1即可；但如果不相等的話，令j = b[j] ，再判斷新的 pj 與 pi 是否相等，依此類推，也就是程式中的while迴圈！因為不相等時，border的長度肯定更短，而b[j] 就是首碼p0, p1,...,pj-1的border，因為前後部分一樣，下面在此判斷pi 和 pj 是否相等又是在重複前面的過程，如果相等還是根據T1.1加一得到b[i+1]的值，這點不太好想，有點遞迴的趕腳。。）過程演算法：

void kmpPreprocess(){    int i=0, j=-1;    b[i]=j;    while (i<m)    {        while (j>=0 && p[i]!=p[j]) j=b[j];        i++; j++;        b[i]=j;    }}

例如：對於模式串 p = ababaa，數組b中的border的長度有下面的值。比如我們有 b[5] = 3，因為長度為5的首碼 ababa 擁有長度為3的border.                                                                                                 
                                                                           尋找演算法上面的過程演算法可以被應用到串pt 上來。如果只有最長的borders被計算出來，那麼pt 的首碼的長度為m的border會匹配模式串 t ，假設border不是自我重疊的，如所示：                                                                                
這解釋了過程演算法和下面的尋找演算法的相似之處。尋找演算法：

void kmpSearch(){    int i=0, j=0;    while (i<n)    {        while (j>=0 && t[i]!=p[j]) j=b[j];        i++; j++;        if (j==m)        {            report(i-j);            j=b[j];        }    }}

在內層迴圈中，在 j 處不匹配的時候，匹配模式串的首碼中最長的border會被考慮，如：                                                        

繼續在b[j]處比較，border的長度會導致模式串的移動。如果發生不匹配的情況，考慮下一個最長border，以此類推，直到沒有剩下的border，即j = -1 或者下一個符號匹配了。然後我們就有了新的模式串的匹配首碼，可以繼續進行外層迴圈了。

如果模式串的所有m個符號都和主串匹配完畢，即j = m，會調用一個函數來返回匹配的位置i-j。然後，模式串會在最長border允許的範圍內儘可能多的移動。

下面的例子示範了尋找演算法，綠色代表匹配，紅色代表不匹配。

例子：

                                                                                  分析過程演算法內層的 while 迴圈將 j 的值減少到至少為1，因為b[j] < j. 迴圈在 j = -1的時候停止，因此，它最多是和 j++ 的次數相等。由於j++ 在外層迴圈中執行了m次，所以內層迴圈的整體次數最多是m，所以過程演算法需要O(m) 步。相似的尋找演算法需要O(n)步。上面的例子展示了這個“階梯狀的圖”的寬度至少和高度相等（因為每次不匹配都會移動，最極端的情況是每一次都移動1，此時寬度和高度相同），因為最多有2n次比較。
所以KMP演算法的複雜度為O(n).其他模式值其實next 函數也有其他的定義，但思想都是利用前面的比較來消除回溯提高效率，參考連結 ： http://www.cppblog.com/oosky/archive/2006/07/06/9486.html