強連通分量、割點、橋

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一、強連通分量

    在有向圖G中，如果任意兩個不同的頂點相互可達，則該有向圖為強連通的；一個有向圖G的極大連通子圖稱為G的強連通分支；將有向圖G的每一條邊反向形成的圖稱為G的轉置 Gt.

1.1 有向圖的一些定理

1. 有向非循環圖中唯一出度為0的點，一定可以由任何點出發到達 
       圖中節點的數目為有限多個，而且無環，因此從任何點出發往前走，一定終止於出度為0的點，否則走N+1步（N為圖中節點的數目），則必然有一個點被走了兩次，形成了環，與無環矛盾！

2. 有向非循環圖中所有入度不為0的點，一定可以由某個入度為0的點出發可達 
       由於無環，所以從任何入度不為0的點往回走，必然終止於一個入度為0的點。

1.2 強連通分量的求解

    一個有向圖G可以存在多個極大連通子圖，即多個強連通分支。求一個有向圖的強連通分支的方法主要有：Korasaju演算法和Tarjan演算法。

1.2.1 Korasaju演算法 
1. 深度優先遍曆圖G，演算法每個節點u的結束時間f[u],起點如何選擇無所謂； 
2. 深度優先遍曆G的轉置圖Gt，選擇遍曆的起點的時候，按照節點的結束時間從大到小進行。遍曆的過程中，一邊遍曆，一邊給節點做分類標記，每找到一個新起點，分類標記就加1； 
3. 第2步中產生的標記值相同的節點構成深度優先森林中的一棵樹，也即一個強連通分量

1.2.2 Tarjan演算法 
1. 做一遍DFS，用dfn[i]表示編號為i的節點在DFS過程中的訪問序號（也可以叫做開始時間）。DFS過程中會形成一棵搜尋樹，在搜尋樹上越先遍曆到的節點，dfn的值就越小。dfn值越小的節點，就稱為越“早”。 
2. low[i]表示從i節點出發DFS過程中i下方節點（開始時間大於dfn[i]，且由i可達的節點）所能到達的最早的節點的開始時間。初始時 low[i] = dfn[i]. 
3. DFS過程中，碰到哪個節點，就將哪個節點入棧。棧中節點只有在其所屬的強連通分量已經全部求出時，才會出棧。 
4. 如果發現某節點u有邊串連到棧裡的節點v，則更新u的low值為 min(low[u], dfn[v])。若low[u]被更新為dfn[v]，則表明目前發現u可達的最早的節點是v。 
    （1）對於u的子節點v，從v出發進行的DFS結束回到u時，使得low[u] = min(low[u], low[v])。因為u可達v，所以v可達的最早的節點，也是u可達的。 
    （2）如果一個節點u，從其出發進行的DFS已經全部完成並回到u，而且此時 low[u] == dfn[u]，說明u可達的所有節點，都不能到達任何比u早的節點——那麼，該節點u就是一個強連通分量在DFS搜尋樹中的根。此時，顯然棧中u上方的節點，都是不能到達比u早的節點的。將棧中節點彈出，一直彈到u（包括u），彈出的節點就構成了一個強連通分量。

void Tarjan(int u){    dfn[u] = low[u] = ++index;    stack.push(u);    for each(u,v) in E{        if (v is not visited){            Tarjan(v);            low[u] = min(low[u], low[v]);        }else if (v in stack){            low[u] = min(low[u], dfn[v]);        }    }    if (dfn[u] == low[u]){ //u是一個強連通分量的根        repeat            v = stack.pop            print v        until (u == v)    }//退棧，把整個強連通分量都彈出來}

 

二、割點和橋

    無向連通圖中，如果刪除某點後，圖變成不連通，則稱該點為割點 
    無向連通圖中，如果刪除某邊後，圖變成不連通，則稱該邊為橋

求割點和橋的Tarjan演算法

    思路和求有向圖的強連通分量類似，在深度優先遍曆整個圖過程中形成一棵搜尋樹。定義dfn[u]為節點u第一次被訪問到的時間（序號），low[u]為u或者u的子樹中能夠通過非父子邊（父子邊就是搜尋樹上的邊）追溯到的最早的節點的DFS開始時間。 
    一個頂點u是割點，若且唯若滿足（1）或（2） 
（1）u為樹根，且u有多於一個子樹 
（2）u不為樹根，且存在(u,v)為樹枝邊（或稱父子邊，即u為v在搜尋樹中的父親），使得 dfn(u) <= low(u)

    一條邊(u,v)是橋，若且唯若 
(u,v)為樹枝邊，且滿足dfn(u) < low(v)。注意，(u,v)不能有重邊。

Tarjan演算法在DFS過程中判斷割點或橋

void Tarjan(u){   dfn[u] = low[u] = ++index;   for each(u,v) in E{        if (v is not visited){            Tarjan(v)            low[u] = min(low[u], low[v])            if(d[u] < low[v])                （u，v）為橋        }else if (v 不是 u的父節點）{            low[u] = min(low[u], dfn[v]);        }    }    if (u 為根）        u是割點 <=> u 有至少兩個子節點    else        u是割點 <=> u 有一個子節點v，滿足 dfn[u] <= low[v]}

 

Tarjan演算法之後判斷割點或橋 
    可以先用Tarjan進行dfs算出所有點的low和dfn值，並記錄dfs過程中每個點的父節點，然後再把所有點看一遍，看起low和dfn，以找出割點和橋。 
    找橋的時候，需要注意有無重邊，若有重邊，則不是橋。

三、無向連通圖點雙連通分支

    無向連通圖的點雙連通分支是指不包含割點的極大連通子圖。 
1. 建立一個棧，儲存當前雙連通分支，搜尋圖時，每找到一條樹枝邊或反向邊（連到樹中祖先的邊），就把這條邊加入棧中。 
2. 如果遇到某樹枝邊(u,v)滿足dfn[u] <= low[v]，說明u是一個割點，此時把邊從棧頂一個個取出，直到遇到了邊(u,v)，取出的這些邊與其關聯的點，組成一個點雙連通分支。 
3. 割點可以屬於多個點雙連通分支，其餘點和每條邊只能屬於一個點雙連通分支

四、無向連通圖邊連通分支

    無向連通圖的邊雙連通分支是指不包含橋的極大連通子圖。 
求無線連通圖的邊連通分支，只需要在求出所有的橋以後，把橋邊刪除，原圖就變成了多個連通塊，則每個連通塊就是一個邊連通分支。 
    橋不屬於任何一個邊連通分支，其餘的邊和每個頂點都屬於且只屬於一個邊連通分支。

強連通分量、割點、橋