[再寄小讀者之數學篇](2014-07-27 $H^{-1}$ 中的有界集與弱收斂極限)

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設 $H^{-1}$ 是 $H^1_0$ 的對偶空間, 定義域為 $[0,1]$. 試證:

(1) $\sed{h\sin (2\pi hx);\ h>0}$ 在 $H^{-1}$ 中有界;

(2) 試求 $h\sin (2\pi hx)$ 在 $H^{-1}$ 中的弱極限.

 

證明:

(1) 對 $\forall\ f\in H^1_0$, $\sen{f}_{H^1}\leq 1$, $$\beex \bea \sef{h\sin (2\pi hx),f(x)}&=\int_0^1 h\sin (2\pi hx)f(x)\rd x\\ &=-\frac{1}{2\pi} \int_0^1 f(x)\rd \cos(2\pi hx)\\ &=\frac{1}{2\pi} \int_0^1 f‘(x)\cos (2\pi hx)\rd x. \eea \eeex$$ 故 $$\bex \sen{h\sin (2\pi hx)}_{H^{-1}}\leq \frac{1}{2\pi}. \eex$$

(2) 由 Riemann-Lebesgue 引理, $$\bex \sef{h\sin (2\pi hx),f(x)} =\frac{1}{2\pi} \int_0^1 f‘(x)\cos (2\pi hx)\rd x\to 0\quad\sex{h\to\infty}. \eex$$ 故 $$\bex h\sin (2\pi hx)\rightharpoonup 0,\mbox{ in }H^{-1}. \eex$$