最長遞增子序列問題

一 問題描述

設序列L = <a1, a2, a3, ..., an>是長度為n的序列，L的一個遞增序列描述為：<ai1, ai2,..., aik>, 其中下標序列 <i1, i2, ..., ik>是

遞增的， 子序列<ai1, ai2, ...., aik> 也是遞增的。此遞增序列的長度為 k

二 解法1， 轉化為LCS問題

先把序列 L 按照從小到大的順序排列， 得到另一個序列S，再求L和S的最長公用子序列

三 解法2，動態規劃

另 len[i] 表示以第 i 個元素結尾的最長遞增子序列的長度，最後求出 max { len[i] } 即可

執行個體 <1, 3, 4, 2, 7>

len[1] = 1, 以1結尾的最長遞增子序列是<1>, 長度為1

len[2] = 2, 以3結尾的最長遞增子序列是<1,3>, 長度為2

len[3] = 3, 以4結尾的最長遞增子序列是<1, 3, 4>, 長度為3

len[4] = 2, 以2結尾的最長遞增子序列是<1, 2>，長度為2

那麼，如何求len[5]呢？轉化為下面的子問題：

第5個元素等於7，找到一個序號在a[5]前面且小於a[5]的元素a[i]， 以a[i]結尾的最長遞增子序列加上a[5]， 組成一個新的最長遞增子序列，其

長度比原來的多1。比a[5]小的元素有多個（最多4個），那麼得到的遞增子序列也有多個，其中最長的那個就等於以a[5]結尾的最長遞增子序列。

例中，a[3 ]比a[5]小，而且以a[3]結尾的最長遞增子序列是最長的， 故以a[5]結尾的遞增子序列長度在其基礎上加1，等於4

len[5] = 4, 以5結尾的最長遞增子序列是<1,3,4,5>，長度為4

四 解法3，對解法2的改進

解法2中，求len[i]的時候， 要從a[1], ... a[i-1]中找出所有比 a[i] 小的元素，而a[1], ... a[i-1]是無序的。尋找速度比較慢。

引出數組 f[k] 表示長度等於k的遞增子序列中最末尾的元素, 長度越長的序列，其末尾元素也越大，所以f[k]是遞增的。

執行個體 <1, 3, 4, 2, 7>

len[1] = 1, f[1] = a[1] = 1

len[2] = 2, f[2] = a[2] = 3

len[3] = 3, f[3] = a[3] = 4

len[4] = 2, f[2] = a[4] = 2 ( 更新了f[2] )

那麼，如何求len[5] 呢？

f[1] = 1, f[2] = 2, f[3] = 4, a[5] = 7，

找出末尾元素比a[5]小，而且長度最長的遞增子序列，此例中，

f[3] = 4 表示長度等於3的子序列，其末尾元素為4，這個子序列的長度最長。

a[5]加上此序列形成的新序列長度為4, 然後更新f[4] = a[5] = 7，表示長度

等於4的子序列，其末尾元素等於7

在上面的步驟中，找出末尾元素比a[i]小，而且長度最長的子序列，其實就是

對於f[1], ...f[k]， 從後往前找，第一個比a[i]小的元素就是長度最長的子序列。尋找的時候

可以用二分尋找方法。故比解法1更快。