暑假看微分幾何總結1

 

暑假看微分幾何總結1

        想要搞與曲面曲線相關的科研，如三維Face Service，計算幾何，幾何建模等等，微分幾何是一門必須要學的基礎性學科。由於視覺是人類擷取外部資訊的主要通道，一般的物體存在都要有一定的幾何形態，所以微分幾何還同電腦圖形學、理論物理、生物、建築等諸多學科都有著廣泛的聯絡。綜上所述，這個暑假給自己定的主要目標就是好好看看微分幾何。

       本科的時候學過一遍梅向明寫的，前一段時間又翻了兩遍，這本《微分幾何》在中文教材裡面是比較好懂的一本。曲線論主要就是Frenet公式，曲面論主要是從曲面上曲線的弧長公式推出曲面的第一基本形式（等距變換，保角變換，內蘊量的性質），從曲面與切平面間的有向距離推出第二基本形式，而曲率的推導過程是：曲面上曲線的曲率->法曲率->主曲率（利用杜邦指標線）->高斯曲率和平均曲率（及幾何意義）。還有高斯曲率是內蘊量，測地曲率測地線，Gauss-Bonnet，極小曲面，常高斯曲率曲面。外微分和整體微分幾何我就沒看了。

        這個暑假主要看的一本是Oprea.J.寫的<Differential Geometry and Its Application>，當時決定看這一本，主要是因為他帶了Maple的實驗代碼，對於搞電腦的來看，可能會更形象，更容易接受些。這本書的思路和梅向明的就有點不一樣了，曲面論首先定義了形狀運算元，即曲面的法線沿某一方向的導數。然後利用該變換矩陣的不變數來定義了曲率，特徵值就是主曲率，用矩陣的跡定義平均曲率，矩陣的行列式定義高斯曲率。然後講了高斯曲率平均曲率的一些幾何特性，測地線等，主要把幾何的不變數性質來同微分方程結合進行研究。

        老外寫的這本書，還舉了不少例子，便於讀者加深對理論的理解。對於學工科的看數學，還是對其的應用價值最感興趣，現在貼幾個出來：

1.     由於航海的發展，人們在海上可以利用北極星確定緯度，但是確定經度卻比較困難。有一種方法是確定正午時與格林威治的時間差，但這就對鐘錶的準確性提出了要求。可以利用曲線論的方法研究如何確定鐘擺的軌跡，使其擺動周期和振幅無關。

 

2.     核電站的冷卻塔的結構是單葉雙曲面，這是因為單葉雙曲面是直紋面，可以沿其直母線方向放置梁，梁沒有彎曲所以冷卻塔所受壓力較小，且易於建造。

 

3.      肺部氣泡遵循Laplace-Young方程。肥皂膜是極小曲面，肥皂泡是平均曲率為常數的曲面。

4.      地理座標，在圖形學中參數化的應用。

5.      一個工業上的應用，求一個曲面串連平面傳送帶和圓柱管道，使得貨物沿此曲面滑動最“平滑”，求出的滿足條件的可展曲面為：

  

6.       陳省身講的一個例子，利用螺旋線的幾何性質研究DNA的化學性質（White公式，生物化學的一個基本的公式） 

         歸根結底，我覺得微分幾何最主要的思路就是：假定複雜曲線曲面的局部是可以用線性切線切平面去近似，在其局部鄰域建立座標系，然後利用微積分推出曲面的一些與座標系選取無關的不變數，進而揭示曲面的本質屬性。