數論基礎學習總結（持續補充中）

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數論基礎算術基本定理（唯一分解定理）

任何一個大於1的自然數都可以唯一分解成有限個素數的乘積

$N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times...\times p_n^{a_n} | p_1<p_2<...<p_n ,a_i\in Z$

上式中$p_i$為素數

有關素數篩

埃式篩法

就是拿一個已經篩選出的素數去排掉其他的數，比如2是素數，就用他篩掉2*2，2*3，2*4……，3是素數，就用他篩掉3*2，3*3，3*4……，把每個素數的倍數都篩掉，不過我們發現，3*2事實上已經在2的時候篩掉過了，即比這個數小的倍數都已經被篩過了，所以我們只要從這個數的平方開始篩就可以了。這個篩法最容易理解也最好寫，一定要會寫！經過這個篩法，能打素數表，能判定一個數是不是素數。複雜度O(nloglogn)。也可以用這種篩法篩出因子。

 1 const int N=1e6+7; 2 bool isprime[N]; 3 int prime[N];//儲存素數，打表 4 void db() 5 { 6     memset(isprime,1,sizeof(isprime));//這步事實上不太好，不過因為是bool類型所以不影響結果 7     isprime[0]=isprime[1]=0; 8     int cntp=0; 9     for(long long i=2;i<N;i++)10     {11         if(isprime[i])12         {13             prime[cntp++]=i;14             for(long long j=i*i;j<N;j+=i)//i*i會爆int所以用ll15                 isprime[j]=0;16         }17     }18 }

埃式篩法

歐拉線性篩法

正常情況下就算是沒有最佳化的埃式篩法應該也是夠用的，但是我們發現埃式篩法還是不是最快的，比如12這個數會被2和3篩兩次，諸如此類的重複會降低效率。所以我們給出歐拉線性篩法。這個篩法自然比較難理解一點，其思路是這樣的，從2開始，將這個素數和之前篩出的所有素數的乘積都判負，如果碰到i是一個合數，也用他去篩，但在篩的迴圈中碰到一個是他因子的素數就跳出（一個合數必定能表示成至少一個素數參與的分解式），達到避免重複篩的目的，然後一個迴圈後就篩出了素數。這個方法比較難理解，我也不是很能感受到這個方法的正確性，不過據說用反證法能進行證明。複雜度O(n)。

線性篩還能用在處理其他積性函數上。

 1 const int N=1e6+7; 2 bool isprime[N]; 3 int prime[N]; 4 void db() 5 { 6     memset(isprime,1,sizeof(isprime)); 7     isprime[0]=isprime[1]=0; 8     int cntp=0; 9     for(int i=2;i<N;i++)10     {11         if(isprime[i])12             prime[cntp++]=i;13     //這一部分是精髓所在也是難理解的部分，不管i是否是素數，都進迴圈去篩，i是合數時中途會跳出，達到減少重複篩的目的14         for(int j=0;j<cntp&&i*prime[j]<N;j++)15         {16             isprime[i*prime[j]]=0;17             if(!(i%prime[j]))18                 break;19         }20     }21 }

歐拉線性篩 有關因子

求因子個數

前置定理：若p是一個素數，a是一個正整數，那麼有$\tau(p^a)=a+1$。

定理：若正整數n有質因數分解$n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times...\times p_k^{a_k}$，則$\tau(n)=(a_1+1)\times(a_2+1)\times...\times(a_k+1)$。

我們需要先打出一張素數表才能套用這個。

 1 int factor_count(int n) 2 { 3     int ans=1; 4     int cnt; 5     int k=sqrt(n)+1; 6     for(int i=0;prime[i]<k;i++) 7     { 8         if(n%prime[i]==0) 9         {10             cnt=0;11             while(n%prime[i]==0)12             {13                 cnt++;14                 n/=prime[i];15             }16             ans*=(cnt+1);17         }18     }19     if(n>1)//這一步是因為只篩到根號n，可能會留最後一個因子，此時需要再算上這個因子20         ans*=2;21     return ans;22 }

求因子個數

 素因子篩

利用埃式篩法處理，複雜度O(nloglogn)

 1 const int maxn=1e5+7; 2 void db() 3 { 4     vector<int> d[maxn]; 5     for(int i=2;i<maxn;i++) 6         if(d[i].empty()) 7         { 8             for(int j=2*i;j<maxn;j+=i) 9                 d[j].push_back(i);10         }11 }

素因子篩有關GCD

輾轉相除法

1 long long gcd(long long a,long long b)2 {3     return b?gcd(b,a%b):a;4 }

GCD

擴充歐幾裡得

 1 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) 2 { 3     if(b==0) 4     { 5         x=1,y=0; 6         return a; 7     } 8     long long gcd=exgcd(b,a%b,y,x); 9     y-=a/b*x;10     return gcd;11 }

exgcd

 

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