淺談二分

標籤：設定   檢查   判斷   集合   相對   是的   範圍   要求   math   

太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，陰陽交媾萬物生。

若要你在全校同學當中猜我心裡想的那個人，允許你問若干個問題，使問問題次數盡量少，你肯定會問我那個人是男生還是女生。因為這樣，可以篩掉一半的人。並且在數學期望上來說，你肯定會盡量問一些能篩掉一半的問題，將問題的答案集合一分為二。假設你直接問是不是***，我說不是的話，你這個問題就問得十分無力了，因為它只幫你排除了一個人。所以，每次問可以篩掉一半備選集合的問題，顯然是一種很聰明的做法。

世間萬物始於混沌，根據太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，我們可以很快將萬事萬物分為八類，並且都相對均衡，這種古老的大智慧，在很久很久以前就被古人所運用了。

在\(OI\)界，這就叫二分。一分為二，天地初開。

對於一個包含了最終解的集合，若我們能通過一次判斷將其一分為二，將最終解的範圍縮小一半，那麼這就是二分。就比如，假如整數範圍\([l,r]\)是解集範圍，並且這個解具有單調性（不存在\(i\)是解但是\(j\)不是解且\(j>i\)），那麼只要\(mid=(l+r)/2\)是解，\([mid+1,r]\)就都是解集，我們再去\([l,mid-1]\)裡找更加小的解。因為滿足單調性，二分多用於解決“最大值最小”或者“最小值最大”的問題。我要求某個問題的答案最大值最小的那一個，說明只要大於等於這個答案的都是問題的解，不過不是最小的。最小值最大同理。

至於二分的寫法，網上千千萬，我個人偏愛一下這一種：

int l=mn,r=mx,ans;while(l<=r) {    int mid=(l+r)>>1;    if(check(mid))ans=mid,l=mid+1;    else r=mid-1;}//最小值最大

int l=mn,r=mx,ans;while(l<=r) {    int mid=(l+r)>>1;    if(check(mid))ans=mid,r=mid-1;    else l=mid+1;}//最大值最小

因為\(mid\)已經被檢查過並且用於更新\(ans\)了，所以剩下倆區間就是\([l,mid-1]\)和\([mid+1,r]\)了，選擇哪個繼續去更新答案根據實際情況定就行。

然後實數二分的話只要設定一個\(eps\)判一判就行了：

double l=mn,r=mx,ans;while(l+eps<=r) {    double mid=(l+r)/2;    if(check(mid))ans=mid,r=mid-eps;    else l=mid+eps;}

以上就是二分的板子了。至於怎麼去二分和怎麼去\(check\)，那就得根據實際題目實際設定了。

淺談二分