泰勒級數定義及相關展開式

 

泰勒級數、歐拉公式、三角函數

泰勒級數的定義：

若函數f（x）在點的某一臨域內具有直到（n+1）階導數，則在該鄰域內f（x）的n階泰勒公式為：

其中：，稱為拉格朗日餘項。

以上函數展開式稱為泰勒級數。

泰勒級數在冪級數展開中的作用：

在泰勒公式中，取，得：

這個級數稱為麥克勞林級數。函數f（x）的麥克勞林級數是x的冪級數，那麼這種展開是唯一的，且必然與f（x）的麥克勞林級數一致。

注意：如果f（x）的麥克勞林級數在點的某一臨域內收斂，它不一定收斂於f（x）。因此，如果f（x）在處有各階導數，則f（x）的麥克勞林級數雖然能做出來，但這個級數能否在某個地區內收斂，以及是否收斂於f（x）都需要進一步驗證。

 

幾個重要的泰勒級數。參數x 為複數時它們依然成立。

• 指數函數和自然對數:

• 幾何級數:

• 二項式定理:

• 三角函數:

• 雙曲函數:

• 朗伯W函數:

 

二項式展開中的C(α,n)是二項式係數。

tan(x)和tanh(x)展開式中的Bk是伯努利數。

sec(x)展開式中的Ek是歐拉數。

 

複平面上的一個單位圓上的點，與實軸夾角為θ時，此點可表示為

e是自然對數的底，此式稱為歐拉(Euler)公式。e可以用計算方法定義為

歐拉公式與三角函數的關係 

由泰勒級數展開

 

轉自：http://blog.163.com/xiangyuan_122/blog/static/280073612009112810632928/