tc-srm704-div1-1000 解題報告__構造

題意：構造一個點數不超過20無重邊無自環的有向圖，節點編號從0到n-1，使得從0到n-1的哈密頓路徑數量恰好為k。

感覺完全沒有思路。。不知道怎麼構造。
去看了下別人的代碼，原來可以做成1<-2<-…<-18一條路徑，然後1-18都向編號比它大的節點連邊。這樣的話往回走就只有唯一的路徑，所以假如說我當前在i，走到了j，j>i，那麼就需要立刻從j到j-1直到i+1，然後再往後走。這樣就相當於每個節點有選或不選兩種狀態，如果選的話就是從前面第一個比它小的選的節點跳過來，不選的話就是從i+1過來。所以如果有0->i，就相當於貢獻了 218−i−1（1≤i<18) 2^{18-i-1}（1\le i（因為18是必選的，19不能回到18）。

既然不會做的話，那就亂搞一下吧~
假如說隨便確定了一個圖，怎麼求路徑數量呢。那就需要 O(220202) O(2^{20}20^2)的狀壓dp。不過我們可以先不求0->n-1的哈密頓路徑數量，可以先求 i−>19,1≤i<19 i->19,1\le i，然後再連從0出去的邊，這樣的話就相當於是問是否存在一個子集和恰好為k。
我們知道 (189) \binom{18}{9}是一個非常大的數了，所以如果i->19的路徑數量是在 k9 k\over 9附近隨機，那麼就很容易一不小心就湊出個k來。所以我們可以二分邊的總數，直到找到一個邊的總數在那裡隨機 i−>19 i->19的路徑數量的平均值會離 k9 k\over 9比較近，然後就在那裡一直隨機。
這樣的話時間複雜度是 O(2nn2logn)≈109 O(2^nn^2\log n)≈10^9的。所以dp的常數比較要用心卡一下才行。。。我一開始算錯了時間複雜度以為是 O(2nnlogn) O(2^nn\log n)的就沒管，結果範例都過不去。。。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int n=20,N=20;typedef long long LL;class HamiltonianConstruction{    public:        pair<int,int> edge[N*N];        int etot;        LL f[1<<N][N];        LL s[1<<N];        int prev[N];        int bit[1<<N];        inline void cal(int mid)        {            random_shuffle(edge,edge+etot);            memset(prev,0,sizeof(prev));            for(int i=mid;i--;)prev[edge[i].second-1]|=1<<edge[i].first-1;            memset(f,0,sizeof(f));            f[1<<n-2][n-2]=1;            for(int i=1;i<1<<n-1;++i)                for(int j=i,x;j;j^=1<<x)                    if(f[i][x=bit[j&-j]])                        for(int k=prev[x]&~i,y;k;k^=y)                        {                            y=k&-k;                            f[i|y][bit[y]]+=f[i][x];                        }            for(int i=n-2;i--;)s[1<<i]=f[(1<<n-1)-1][i];            for(int i=1;i<1<<n-2;++i)s[i]=s[i^i&-i]+s[i&-i];        }        inline vector<string> construct(int k)        {            for(int i=0;i<n;++i)bit[1<<i]=i;            for(int i=n-1;--i;)                for(int j=n;--j;)                    if(i!=j)                        edge[etot++]=make_pair(i,j);            vector<string> ans(N,string(N,'N'));            int l=0,r=100;            while(r-l>1)            {                int mid=l+r>>1;                cal(mid);                for(int i=1<<n-2;i--;)                    if(s[i]==k)                    {                        for(int j=mid;j--;)ans[edge[j].first][edge[j].second]='Y';                        for(int j=n-2;j--;)                            if(i>>j&1)                                ans[0][j+1]='Y';                        return ans;                    }                LL sum=0;                for(int i=n-2;i--;)sum+=s[1<<i];                if(sum>=k<<1)r=mid;                else l=mid;            }            for(;;)            {                cal(r);                for(int i=1<<n-2;i--;)                    if(s[i]==k)                    {                        for(int j=r;j--;)ans[edge[j].first][edge[j].second]='Y';                        for(int j=n-2;j--;)                            if(i>>j&1)                                ans[0][j+1]='Y';                        return ans;                    }            }        }};

總結：
①構造的時候可以考慮一些特殊情況，或者根據題目中的特殊性質。比如說構造一個圖，就可以先考慮一條鏈、完全圖、樹。
②如果沒有構造的思路，不妨試試隨機化。
③一定要算好時間複雜度。