軟考 （三） 尋找演算法

          在程式設計中經常會執行尋找操作，有時需要在龐大的資料庫中尋找某一條記錄，這時尋找時間就顯得尤為重要，怎麼樣才能節省尋找時間？提高尋找效率呢，下面我們來看一下常用的一些尋找演算法。

         

 

               【順序尋找】

            一 、概念

                 從表的一端開始，順序掃描線性表，依次將掃描到的結點關鍵宇和給定值K相比較。若當前掃描到的結點關鍵字與K相等，則尋找成功；若掃描結束後，仍未找到關鍵字等於K的結點，則尋找失敗。

            二、特點

                它尋找表的儲存結構：既適用於順序儲存結構，也適用於鏈式儲存結構。

                那麼我們怎麼知道一個演算法好壞呢，在這裡我們利用時間複雜度和空間複雜度表示，又由於空間複雜度一般是相同的，就不予考慮，我們只考慮時間複雜度，我們可以用平均尋找長度ASL表示：如下面公式

               在等機率情況下，pi=1/n(1≤i≤n)，故成功的平均尋找長度為
                n+1)/2

         

            【二分尋找】

              一、二分尋找(Binary Search)

　                 二分尋找又稱折半尋找，它是一種效率較高的尋找方法。
　                 二分尋找要求：線性表是有序表，即表中結點按關鍵字有序，並且要用向量作為表的儲存結構。

              二、二分尋找的基本思想

　                二分尋找的基本思想是：（設R[low..high]是當前的尋找區間）
          （1）首先確定該區間的中點位置：
 

          （2）然後將待查的K值與R[mid].key比較：若相等，則尋找成功並返回此位置，否則須確定新的尋找區間，繼續二分尋找，具體方法如下：

　               ①若R[mid].key>K，則由表的有序性可知R[mid..n].keys均大於K，因此若表中存在關鍵字等於K的結點，則該結點必定是在位置mid左邊的子表R[1..mid-1]中，故新的尋找區間是左子表R[1..mid-1]。
　               ②類似地，若R[mid].key<K，則要尋找的K必在mid的右子表R[mid+1..n]中，即新的尋找區間是右子表R[mid+1..n]。下一次尋找是針對新的尋找區間進行的。

　               因此，從初始的尋找區間R[1..n]開始，每經過一次與當前尋找區間的中點位置上的結點關鍵字的比較，就可確定尋找是否成功，不成功則當前的尋找區間就縮小一半。這一過程重複直至找到關鍵字為K的結點，或者直至當前的尋找區間為空白(即尋找失敗)時為止。

             三、二分尋找判定樹

　               二分尋找過程可用二叉樹來描述：把當前尋找區間的中間位置上的結點作為根，左子表和右子表中的結點分別作為根的左子樹和右子樹。由此得到的二叉樹，稱為描述二分尋找的判定樹(Decision Tree)或比較樹(Comparison Tree)。
　　　　
（1）二分尋找判定樹的組成

　　①圓結點即樹中的內部結點。樹中圓結點內的數字表示該結點在有序表中的位置。
　　②外部結點：圓結點中的所有null 指標均用一個虛擬方形結點來取代，即外部結點。
　　③樹中某結點i與其左(右)孩子串連的左(右)分支上的標記"<"、"("、">"、")"表示：當待查關鍵字K<R[i].key(K>R[i].key)時，應走左(右)分支到達i的左(右)孩子，將該孩子的關鍵字進一步和K比較。若相等，則尋找過程結束返回，否則繼續將K與樹中更下一層的結點比較。

（2）二分尋找判定樹的尋找
　　二分尋找就是將給定值K與二分尋找判定樹的根結點的關鍵字進行比較。若相等，成功。否則若小於根結點的關鍵字，到左子樹中尋找。若大於根結點的關鍵字，則到右子樹中尋找。
　　
【例】待查表的關鍵字序列為：(05，13，19，21，37，56，64，75，80，88，92)，若要尋找K=85的記錄，所經過的內部結點為6、9、10，最後到達方形結點"9-10"，其比較次數為3。
　實際上方形結點中"i-i+1"的含意為被尋找值K是介於R[i].key和R[i+1].key之間的，即R[i].key<K<R[i+1].key。

（3）二分尋找的平均尋找長度
　設內部結點的總數為n=2h-1，則判定樹是深度為h=lg(n+1)的滿二叉樹(深度h不計外部結點)。樹中第k層上的結點個數為2k-1，尋找它們所需的比較次數是k。因此在等機率假設下，二分尋找成功時的平均尋找長度為：
ASLbn≈lg(n+1)-1
　　二分尋找在尋找失敗時所需比較的關鍵字個數不超過判定樹的深度，在最壞情況下尋找成功的比較次數也不超過判定樹的深度。即為：

　　二分尋找的最壞效能和平均效能相當接近。

              五、二分尋找的優點和缺點

　　雖然二分尋找的效率高，但是要將表按關鍵字排序。而排序本身是一種很費時的運算。既使採用高效率的排序方法也要花費O(nlgn)的時間。
　　二分尋找只適用順序儲存結構。為保持表的有序性，在順序結構裡插入和刪除都必須移動大量的結點。因此，二分尋找特別適用於那種一經建立就很少改動、而又經常需要尋找的線性表。
　　對那些尋找少而又經常需要改動的線性表，可採用鏈表作儲存結構，進行順序尋找。鏈表上無法實現二分尋找。

 

            【分塊尋找】

 

              一、概念：

                    分塊尋找是一種效能介於順序尋找和二分尋找之間的一種尋找方法，但它要求先對尋找表建立一個索引表，再進行分塊尋找。

 

              二、 索引表建立方法：

                    先對尋找表進行分塊，要求"分塊有序"，即塊內關鍵字不一定有序，但塊件間有序。然後，抽取各塊中的最大關鍵字及其起始位置構成一個索引表。如：

            

 

                  可以看出分開尋找主要由兩部分組成：索引表和分塊序列。

          並有如下特點：

             A  索引表為有序序列

             B  分塊間有順序、塊內無序

          根據特點可確定它的尋找方法：分兩步進行，先尋找索引表，因其有序，故可採用二分法尋找，以確定待查記錄在哪一塊，然後，在已確定的塊中進行再順序尋找。
           帶入公式則分塊尋找的平均尋找長度為：ASLbs=Lb+Lw=log2(b+1)-1+(s+1)/2 ≈
log2(n/s+1)+ s/2