考系統架構設計師必看–最小函數依賴集

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一、等價和覆蓋

　　定義：關係模式R<U,F>上的兩個依賴集F和G，如果F+=G+，則稱F和G是等價的，記做F≡G。若F≡G，則稱G是F的一個覆蓋，反之亦然。兩個等價的函數依賴集在表達能力上是完全相同的。

　　二、最小函數依賴集

　　定義：如果函數依賴集F滿足下列條件，則稱F為最小函數依賴集或最小覆蓋。

　　① F中的任何一個函數依賴的右部僅含有一個屬性；
　　② F中不存在這樣一個函數依賴X→A，使得F與F-{X→A}等價；
　　③ F中不存在這樣一個函數依賴X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}與F等價。

　　演算法：計算最小函數依賴集。

　　輸入 一個函數依賴集

　　輸出 F的一個等價的最小函數依賴集G

　　步驟：① 用分解的法則，使F中的任何一個函數依賴的右部僅含有一個屬性；
　　　　　② 去掉多餘的函數依賴：從第一個函數依賴X→Y開始將其從F中去掉，然後在剩下的　　　　　　函數依賴中求X的閉包X+，看X+是否包含Y，若是，則去掉X→Y；否則不能去掉，依　　　　　　次做下去。直到找不到冗餘的函數依賴；
　　　　　③ 去掉各依賴左部多餘的屬性。一個一個地檢查函數依賴左部非單個屬性的依賴。例　　　　　　如XY→A，若要判Y為多餘的，則以X→A代替XY→A是否等價？若A (X)+，則Y是多餘　　　　　　 屬性，可以去掉。

　　舉例：已知關係模式R<U,F>，U={A,B,C,D,E,G}，F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,CE→AG}，求F的最小函數依賴集。

　　解1：利用演算法求解，使得其滿足三個條件

　　① 利用分解規則，將所有的函數依賴變成右邊都是單個屬性的函數依賴，得F為：F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}

　　② 去掉F中多餘的函數依賴

　　A．設AB→C為冗餘的函數依賴，則去掉AB→C，得：F1={D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}

　　計算(AB)F1+：設X(0)=AB

　　計算X(1)：掃描F1中各個函數依賴，找到左部為AB或AB子集的函數依賴，因為找不到這樣的函數依賴。故有X(1)=X(0)=AB，演算法終止。

　　(AB)F1+= AB不包含C，故AB→C不是冗餘的函數依賴，不能從F1中去掉。

　　B．設CG→B為冗餘的函數依賴，則去掉CG→B，得：F2={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}

　　計算(CG)F2+：設X(0)=CG

　　計算X(1)：掃描F2中的各個函數依賴，找到左部為CG或CG子集的函數依賴，得到一個C→A函數依賴。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。

　　計算X(2)：掃描F2中的各個函數依賴，找到左部為ACG或ACG子集的函數依賴，得到一個CG→D函數依賴。故有X(2)=X(1)∪D=ACDG。

　　計算X(3)：掃描F2中的各個函數依賴，找到左部為ACDG或ACDG子集的函數依賴，得到兩個ACD→B和D→E函數依賴。故有X(3)=X(2)∪BE=ABCDEG，因為X(3)=U，演算法終止。

　　(CG)F2+=ABCDEG包含B，故CG→B是冗餘的函數依賴，從F2中去掉。

　　C．設CG→D為冗餘的函數依賴，則去掉CG→D，得：F3={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,ACD→B,CE→A,CE→G}

　　計算(CG)F3+：設X(0)=CG

　　計算X(1)：掃描F3中的各個函數依賴，找到左部為CG或CG子集的函數依賴，得到一個C→A函數依賴。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。

　　計算X(2)：掃描F3中的各個函數依賴，找到左部為ACG或ACG子集的函數依賴，因為找不到這樣的函數依賴。故有X(2)=X(1)，演算法終止。(CG)F3+=ACG。

　　(CG)F3+=ACG不包含D，故CG→D不是冗餘的函數依賴，不能從F3中去掉。

　　D．設CE→A為冗餘的函數依賴，則去掉CE→A，得：F4={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→G}

　　計算(CG)F4+：設X(0)=CE

　　計算X(1)：掃描F4中的各個函數依賴，找到左部為CE或CE子集的函數依賴，得到一個C→A函數依賴。故有X(1)=X(0)∪A=CEA=ACE。

　　計算X(2)：掃描F4中的各個函數依賴，找到左部為ACE或ACE子集的函數依賴，得到一個CE→G函數依賴。故有X(2)=X(1)∪G=ACEG。

　　計算X(3)：掃描F4中的各個函數依賴，找到左部為ACEG或ACEG子集的函數依賴，得到一個CG→D函數依賴。故有X(3)=X(2)∪D=ACDEG。

　　計算X(4)：掃描F4中的各個函數依賴，找到左部為ACDEG或ACDEG子集的函數依賴，得到一個ACD→B函數依賴。故有X(4)=X(3)∪B=ABCDEG。因為X(4)=U，演算法終止。

　　(CE)F4+=ABCDEG包含A，故CE→A是冗餘的函數依賴，從F4中去掉。

　　③ 去掉F4中各函數依賴左邊多餘的屬性（只檢查左部不是單個屬性的函數依賴）由於C→A，函數依賴ACD→B中的屬性A是多餘的，去掉A得CD→B。

　　故最小函數依賴集為：F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,CD→B,CE→G}

 

　　解2：利用Armstrong公理系統的推斷規則求解

　　① 假設CG→B為冗餘的函數依賴，那麼，從F中去掉它後能根據Armstrong公理系統的推斷規則匯出。

　　因為CG→D （已知）

　　所以CGA→AD，CGA→ACD （增廣律）

　　因為ACD→B （已知）

　　所以CGA→B （傳遞律）

　　因為C→A （已知）

　　所以CG→B （偽傳遞律）

　　故CG→B是冗餘的。

　　② 同理可證：CE→A是多餘的。

　　③ 又因C→A，可知函數依賴ACD→B中的屬性A是多餘的，去掉A得CD→B。

　　故最小函數依賴集為：F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,CD→B,CE→G}