《編程之美》讀書筆記——“求位元中1的個數”

   《編程之美——微軟技術面試心得》讀書筆記

“求位元中1的個數”

by ZelluX 

 

由電子工業出版社博文視點和w3china.org社區聯合舉辦了“看樣章, 寫書評, 贏取《編程之美——微軟技術面試心得》的活動”，詳情請見：http://bbs.w3china.org/dispbbs.asp?boardID=42&ID=61162

大家踴躍參加，活動非常熱烈。下面文章來自讀者ZelluX：

 求二進位中1的個數。對於一個位元組（8bit）的變數，求其二進位表示中"1"的個數，要求演算法的執行效率儘可能的高。

先來看看樣章上給出的幾個演算法：

解法一，每次除二，看是否為奇數，是的話就累計加一，最後這個結果就是二進位表示中1的個數。

解法二，同樣用到一個迴圈，只是裡面的操作用位移操作簡化了。

   1:  int Count(int v)   
   2:  {   
   3:      int num = 0;
   4:      while (v) {   
   5:          num += v & 0x01;   
   6:          v >>= 1;   
   7:      }   
   8:      return num;   
   9:  } 

解法三，用到一個巧妙的與操作，v & (v -1 )每次能消去二進位表示中最後一位1，利用這個技巧可以減少一定的迴圈次數。

解法四，查表法，因為只有資料8bit，直接建一張表，包含各個數中1的個數，然後查表就行。複雜度O(1)。

   1:  int countTable[256] = { 0, 1, 1, 2, 1, ..., 7, 7, 8 };   
   2:      
   3:  int Count(int v) {   
   4:      return countTable[v];   
   5:  }
   
好了，這就是樣章上給出的四種方案，下面談談我的看法。

首先是對演算法的衡量上，複雜度真的是唯一的標準嗎？尤其對於這種資料規模給定，而且很小的情況下，複雜度其實是個比較次要的因素。

查表法的複雜度為O(1)，我用解法一，迴圈八次固定，複雜度也是O(1)。至於資料規模變大，變成32位整型，那查表法自然也不合適了。

其次，我覺得既然是這樣一個很小的操作，衡量的尺度也必然要小，CPU刻度可以作為一個參考。

解法一裡有若干次整數加法，若干次整數除法（一般的編譯器都能把它最佳化成位移），還有幾個迴圈分支判斷，幾個奇偶性判斷（這個比較耗時間，根據CSAPP上的資料，一般一個branch penalty得耗掉14個左右的cycle），加起來大概幾十個cycle吧。

再看解法四，查表法看似一次地址計算就能解決，但實際上這裡用到一個訪存操作，而且第一次訪存的時候很有可能那個數組不在cache裡，這樣一個cache miss導致的後果可能就是耗去幾十甚至上百個cycle（因為要訪問記憶體）。所以對於這種“小操作”，這個演算法的效能其實是很差的。

這裡我再推薦幾個解決這個問題的演算法，以32位無符號整型為例。

   1:  int Count(unsigned x) {   
   2:     x = x - ((x >> 1) & 0x55555555);    
   3:     x = (x & 0x33333333) + ((x >> 2) & 0x33333333);    
   4:     x = (x + (x >> 4)) & 0x0F0F0F0F;    
   5:     x = x + (x >> 8);    
   6:     x = x + (x >> 16);    
   7:     return x & 0x0000003F;    
   8:  } 
   
這裡用的是二分法，兩兩一組相加，之後四個四個一組相加，接著八個八個，最後就得到各位之和了。

還有一個更巧妙的HAKMEM演算法

   1:  int Count(unsigned x) {
   2:     unsigned n;    
   3:      
   4:     n = (x >> 1) & 033333333333;    
   5:     x = x - n;   
   6:     n = (n >> 1) & 033333333333;   
   7:     x = x - n;    
   8:     x = (x + (x >> 3)) & 030707070707;   
   9:     x = modu(x, 63);  
   10:     return x;   
   11:  } 
   
首先是將二進位各位三個一組，求出每組中1的個數，然後相鄰兩組歸併，得到六個一組的1的個數，最後很巧妙的用除63取餘得到了結果。

因為2^6 = 64，也就是說 x_0 + x_1 * 64 + x_2 * 64 * 64 = x_0 + x_1 + x_2 (mod 63)，這裡的等號表示同餘。

這個程式只需要十條左右指令，而且不訪存，速度很快。

由此可見，衡量一個演算法實際效果不單要看複雜度，還要結合其他情況具體分析。

關於後面的兩道擴充問題，問題一是問32位整型如何處理，這個上面已經講了。

問題二是給定兩個整數A和B，問A和B有多少位是不同的。

這個問題其實就是數1問題多了一個步驟，只要先算出A和B的異或結果，然後求這個值中1的個數就行了。

總體看來這本書還是很不錯的，比較喜歡裡面針對一個問題提出不同演算法並不斷改進的風格。這裡提出一點個人的理解，望大家指正 ;-)

 

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