樹的經典問題和方法

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樹的經典問題和方法

《演算法競賽入門經典（第2版）》392頁

歐拉序列。對有根樹t進行dfs（深度優先遍曆），無論是遞迴還是回溯，每次到達一個結點時都將深度記錄下來，可以得到一個長度為2n-1的序列，稱為t的歐拉序列f(類似於歐拉迴路)。

為了方便，把結點k在歐拉序列中第一次出現的序號記為pos(k)。

有了歐拉序列，lca問題可以線上性時間內化為rmq問題：lca(t,u,v)=rmq(b,pos(u),pos(v))。這裡rmq返回的是下標而不是值本身。

這個等式不難理解：從u走到v的過程中一定會經過lca(t,u,v)，但不會經過lca(t,u,v)的祖先。因此，從u走到v的過程中經過的深度最小的結點就是lca(t,u,v)。

用dfs計算歐拉序列的時間複雜度是o(n)，且歐拉序列的長度是2n-1=o(n)，所以lca問題可以在o(n)的時間內轉化成等規模的rmq問題。

樹的動態查詢問題1。給定一棵帶邊權的樹，要求支援兩種操作：修改某條邊的權值和詢問樹中兩點間的距離。

首先把無根樹變成有根樹，則把一條邊u-v（假定u是v的父親結點）的權值增加d時，以u為根的整個子樹的“到根節點的距離”同時增加d。不難發現，一棵子樹內的結點對應歐拉序列中的一段連續序列，因此如果用dist[i]表示歐拉序列中第i個結點到根的距離，則修改操作就是dist數組上的“區間增量”，而查詢時的距離(u,v)等於dist(u)+dist(v)-2dist(w)，其中w=lca(u,v)。這樣，只需用一個支援快速區間增量和單點查詢的資料結構（例如fenwick樹或者線段樹）來維護dist數組，就可以在o(log n)的時間內支援兩個操作。

輕重路徑剖分。給定一棵有根樹，對於每個非分葉節點u，設u的子樹中結點數最多的子樹的樹根為v，則標記(u,v)為重邊，從u出發往下的其它邊均為輕邊。

根據上面的定義，只需一次dfs就能把一棵樹分解成若干重路徑（重邊組成的路徑）和若干輕邊。有些資料也把重路徑稱為樹鏈，因此輕重路徑剖分也稱樹鏈剖分。

路徑剖分最重要的定理如下：若v是u的子結點，(u,v)是輕邊，則size(v)<size(u)/2，其中size(u)表示以u為根的子樹中的結點總數。

證明並不複雜。由定義，所有非葉結點都有一條重邊。假設size(v)>=size(u)/2，那麼對於u向下的重邊(u,w)來說，size(w)>=size(v)>=size(u)/2，因此size(u)>=1+size(v)+size(w)>=1+size(u)，與假設矛盾。

由此可以得到如下重要結論：對於任意非根結點u，在u到根的路徑上，輕邊和重路徑的條數均不超過log2n因為每碰到一條輕邊size值就會減半。

樹的動態查詢問題2。給定一棵帶邊權的樹，要求支援兩種操作：修改某條邊的權值和詢問樹中兩點之間唯一路徑上的最大邊權。

首先把無根樹變成有根樹並且求出路徑剖分。任意結點u到其根節點x的簡單路徑中包含一些輕邊和重路徑，但這些重路徑可能並不是原樹中的完整重路徑，而是一些“片段”，因此可以在輕邊中直接儲存邊權，而用線段樹維護重路徑。這樣兩個操作都不難實現。

修改：輕邊直接修改，重邊需要在重路徑對應的線段樹中修改。

查詢：設lca(u,v)=p，則只需求出u到其祖先p之間的最大變權maxw(u,p)，再用類似的方法求出maxw(v,p)，則答案為max{maxw(u,p),maxw(v,p)}。為了求出maxw(u,p)，依次訪問u到p之間的每條重路徑和輕邊即可。根據剛才的結論，輕邊和重路徑的條數均不超過log2n。這樣，修改的時間複雜度為o(log n)，查詢的時間複雜度為o(log2n)。雖然存在時間複雜度更低的方法，但上述方法已經很實用了。

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