FS，FT，DFS，DTFT，DFT，FFT的聯絡和區別

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      對於初學數字訊號處理（DSP）的人來說，這幾種變換是最為頭疼的，它們是數字訊號處理的理論基礎，貫穿整個訊號的處理。

      學習過《高等數學》和《訊號與系統》這兩門課的朋友，都知道時域上任意連續的周期訊號可以分解為無限多個正弦訊號之和，在頻域上就表示為離散非周期的訊號，即時域連續周期對應頻域離散非周期的特點，這就是傅裡葉級數展開（FS），它用於分析連續周期訊號。

      FT是傅裡葉變換，它主要用於分析連續非周期訊號，由於訊號是非周期的，它必包含了各種頻率的訊號，所以具有時域連續非周期對應頻域連續非周期的特點。

       FS和FT 都是用於連續訊號頻譜的分析工具，它們都以傅裡葉級數理論問基礎推匯出的。時域上連續的訊號在頻域上都有非周期的特點，但對於周期訊號和非周期訊號又有在頻域離散和連續之分。

      在自然界中除了存在溫度，壓力等在時間上連續的訊號，還存在一些離散訊號，離散訊號可經過連續訊號採樣獲得，也有本身就是離散的。例如，某地區的年降水量 或平均增長率等訊號，這類訊號的時間變數為年，不在整數時間點的訊號是沒有意義的。用於離散訊號頻譜分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。

     DTFT是離散時間傅裡葉變換 ，它用於離散非周期序列分析，根據連續傅裡葉變換要求連續訊號在時間上必須可積這一充分必要條件，那麼對於離散時間傅裡葉變換，用於它之上的離散序列也必 須滿足在時間軸上級數求和收斂的條件；由於訊號是非周期序列，它必包含了各種頻率的訊號，所以DTFT對離散非周期訊號變換後的頻譜為連續的，即有時域離散非周期對應頻域連續周期的特點。

     當離散的訊號為周期序列時，嚴格的講，離散時間傅裡葉變換是不存在的，因為它不滿足訊號序列絕對級數和收斂（絕對可和）這一傅裡葉變換的充要條件，但是採用DFS（離散傅裡葉級數）這一分析工具仍然可以對其進行傅裡葉分析。

     我們知道周期離散訊號是由無窮多相同的周期序列在時間軸上組成的，假設周期為N，即每個周期序列都有N個元素，而這樣的周期序列有無窮多個，由於無窮多個 周期序列都相同，所以可以只取其中一個周期就足以表示整個序列了，這個被抽出來表示整個序列特性的周期稱為主值周期，這個序列稱為主值序列。然後以N對應 的頻率作為基頻構成傅裡葉級數展開所需要的複指數序列ek(n)=exp(j*2pi*k*n/N)，用主值序列與複指數序列取相關（乘加運算），得出每 個主值在各頻率上的頻譜分量，這樣就表示出了周期序列的頻譜特性。

      根據DTFT，對於有限長序列作Z變換或序列傅裡葉變換都是可行的，或者說，有限長序列的頻域和複頻域分析在理論上都已經解決；但對於數字系統，無論是Z 變換還是序列傅裡葉變換的適用方面都存在一些問題，重要是因為頻率變數的連續性性質（DTFT變換出連續頻譜），不便於數字運算和儲存。

      參考DFS，可以採用類似DFS的分析方法對解決以上問題。可以把有限長非周期序列假設為一無限長周期序列的一個主直周期，即對有限長非周期序列進行周期 延拓，延拓後的序列完全可以採用DFS進行處理，即採用複指數基頻序列和此有限長時間序列取相關，得出每個主值在各頻率上的頻譜分量以表示出這個“主值周 期”的頻譜資訊。

      由於DFT借用了DFS，這樣就假設了序列的周期無限性，但在處理時又對區間作出限定（主值區間），以符合有限長的特點，這就使DFT帶有了周期性。另 外，DFT只是對一周期內的有限個離散頻率的表示，所以它在頻率上是離散的，就相當於DTFT變換成連續頻譜後再對其採樣，此時採樣頻率等於序列延拓後的 周期N，即主值序列的個數。

      下面談談DFS，DTFT，DFT，FFT的聯絡與區別

      DFT與FFT其實是一個本質，FFT是DFT的一種快速演算法。

      DFS是discrete fourier seriers，對離散周期訊號進行級數展開。DFT是將DFS取主值，DFS是DFT的周期延拓。

      DTFT是對Discrete time fourier transformation，是對序列的FT，得到連續的周期譜，而DFT，FFT得到是有限長的非周期離散譜，不是一個。

      DTFT與DFT的關係

      我們知道，一個N點離散時間序列的傅裡葉變換（DTFT）所的頻譜是以（2*pi）為周期進行延拓的連續函數，由採樣定理我們知道，時域進行採樣，則頻域 周期延拓；同理，如果在頻域進行採樣，則時域也會周期延拓。離散傅裡葉變換（DFT）就是基於這個理論，在頻域進行採樣，一個周期內采N個點（與序列點數 相同） ，從而將訊號的頻譜離散化，得到一的重要的對應關係：一個N點離散時間訊號可以用頻域內一個N點序列來唯一確定，這就是DFT運算式所揭示的內容。

      至 於離散傅裡葉變換DFT，其實也是對數字訊號變換到頻域進行分析處理，它對數字訊號處理的作用相當大。數字訊號處理脫離了類比時期對訊號進行處理完全依賴 於器件的情況，可以直接通過計算來進行訊號處理。如數字濾波器，只是用系統的係數對進入的數字訊號進行一定的計算，訊號出系統後即得到處理後的資料在時域 上的表達。

      離散傅裡葉變換在理解上與連續訊號的傅裡葉變換不太相同，主要是離散訊號的傅裡葉變換涉及到周期延拓，以及圓周卷積等。

      快速傅裡葉變換FFT其實是一種對離散傅裡葉變換的快速演算法，它的出現解決了離散傅裡葉變換的計算量極大、不實用的問題，使離散傅裡葉變換的計算量降低了 一個或幾個數量級，從而使離散傅裡葉變換得到了廣泛應用。另外，FFT的出現也解決了相當多的計算問題，使得其它計算也可以通過FFT來解決。

 

圖解參考：http://www.cnblogs.com/BitArt/archive/2012/11/24/2786390.html

　下面，就用這兩條性質來說明DFT，DTFT，DFS，FFT之間的聯絡：

　　先看圖片：

FS，FT，DFS，DTFT，DFT，FFT的聯絡和區別