數的分解，據說是清華的一道複試上機題

來源: http://topic.csdn.net/u/20100325/20/38e39935-9463-452c-a194-1ed8f6b49c99.html

任何數都能分解成2的冪，
例如：7
=1+1+1+1+1+1+1
=1+1+1+1+1+2
=1+1+1+2+2
=1+1+1+4
=1+2+2+2
=1+2+4
求任意整數n(n<100億)的此類劃分數。

解:

記f(n)為n的劃分數，我們有遞推公式：
f(2m + 1) = f(2m)，
f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
初始條件：f(1) = 1。

證明:

證明的要點是考慮劃分中是否有1。

記:
A(n) = n的所有劃分組成的集合，
B(n) = n的所有含有1的劃分組成的集合，
C(n) = n的所有不含1的劃分組成的集合，
則有: A(n) = B(n)∪C(n)。

又記:
f(n) = A(n)中元素的個數，
g(n) = B(n)中元素的個數，
h(n) = C(n)中元素的個數，
易知: f(n) = g(n) + h(n)。

以上記號的具體例子見文末。

我們先來證明: f(2m + 1) = f(2m)，
首先，2m + 1 的每個劃分中至少有一個1，去掉這個1，就得到 2m 的一個劃分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。
其次，2m 的每個劃分加上個1，就構成了 2m + 1 的一個劃分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。
綜上，f(2m + 1) = f(2m)。

接著我們要證明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
把 B(2m) 中的劃分中的1去掉一個，就得到 A(2m - 1) 中的一個劃分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。
把 A(2m - 1) 中的劃分加上一個1，就得到 B(2m) 中的一個劃分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。
綜上，g(2m) = f(2m - 1)。

把 C(2m) 中的劃分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一個劃分，故 h(2m)≤f(m)。
把 A(m) 中的劃分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一個劃分，故 f(m)≤h(2m)。
綜上，h(2m) = f(m)。

所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。                                            

這就證明了我們的遞推公式。

記 f(0) = 1，根據遞推公式，可以得到:
f(2m) = f(0) + f(1) + ... + f(m)。
(證明留給讀者)

一些例子：

A(3) = {
  (1,1,1)
  (1,2)
},
f(3) = 2,

A(4) = {
 (1,1,1,1)
  (1,1,2)
  (2,2)
  (4)
},
f(4) = 4,

A(5) = {
 (1,1,1,1,1)
  (1,1,1,2)
  (1,2,2)
  (1,4)
},
f(5) = 4,

A(6) = {
 (1,1,1,1,1,1)
  (1,1,1,1,2)
  (1,1,2,2)
  (1,1,4)
  (2,2,2)
  (2,4)
},
f(6) = 6,

B(6) = {
 (1,1,1,1,1,1)
  (1,1,1,1,2)
  (1,1,2,2)
  (1,1,4)
},
g(6) = 4,

C(6) = {
  (2,2,2)
  (2,4)
},
h(6) = 2.