資料結構之堆詳解_C 語言

1. 概述

堆（也叫優先隊列），是一棵完全二叉樹，它的特點是父節點的值大於（小於）兩個子節點的值（分別稱為大頂堆和小頂堆）。它常用於管理演算法執行過程中的資訊，應用情境包括堆排序，優先隊列等。

2. 堆的基本操作

堆是一棵完全二叉樹，高度為O（lg n），其基本操作至多與樹的高度成正比。在介紹堆的基本操作之前，先介紹幾個基本術語：

A：用於表示堆的數組，下標從1開始，一直到n
PARENT(t)：節點t的父節點，即floor(t/2)
RIGHT(t)：節點t的左孩子節點，即:2*t
LEFT(t)：節點t的右孩子節點，即:2*t+1
HEAP_SIZE(A)：堆A當前的元素數目
下面給出其主要的四個操作（以大頂堆為例）：
2.1 Heapify(A,n,t)
該操作主要用於維持堆的基本性質。假定以RIGHT(t)和LEFT(t)為根的子樹都已經是堆，然後調整以t為根的子樹，使之成為堆。

複製代碼 代碼如下:

void Heapify(int A[], int n, int t)
 
{
 
  int left = LEFT(t);
 
  int right = RIGHT(t);
 
  int max = t;
 
  if(left <= n)     max = A[left] > A[max] ? left : max;
 
  if(right <= n)     max = A[right] > A[max] ? right : max;
 
  if(max != A[t])
 
  {
 
    swap(A, max, t);
 
    Heapify(A, n, max);
 
  }
 
}

2.2  BuildHeap(A,n)
該操作主要是將數組A轉化成一個大頂堆。思想是，先找到堆的最後一個非葉子節點（即為第n/2個節點），然後從該節點開始，從後往前逐個調整每個子樹，使之稱為堆，最終整個數組便是一個堆。

複製代碼 代碼如下:

void BuildHeap(int A[], int n)
 
{
 
  int i;
 
  for(i = n/2; i<=n; i++)
 
  Heapify(A, n, i);
 
}

2.3 GetMaximum(A,n)
該操作主要是擷取堆中最大的元素，同時保持堆的基本性質。堆的最大元素即為第一個元素，將其儲存下來，同時將最後一個元素放到A[1]位置，之後從上往下調整A，使之成為一個堆。

複製代碼 代碼如下:

void GetMaximum(int A[], int n)
 
{
 
  int max = A[1];
 
  A[1] = A[n];
 
  n--;
 
  Heapify(A, n, 1);
 
  return max;
 
}

2.4  Insert(A, n, t)
向堆中添加一個元素t，同時保持堆的性質。演算法思想是，將t放到A的最後，然後從該元素開始，自下向上調整，直至A成為一個大頂堆。

複製代碼 代碼如下:

void Insert(int A[], int n, int t)
 
{
 
  n++;
 
  A[n] = t;
 
  int p = n;
 
  while(p >1 && A[PARENT(p)] < t)
 
  {
 
    A[p] = A[PARENT(p)];
 
    p = PARENT(p);
 
  }
 
  A[p] = t;
 
  return max;
 
}

3.  堆的應用

3.1  堆排序
堆的最常見應用是堆排序，時間複雜度為O(N lg N)。如果是從小到大排序，用大頂堆；從大到小排序，用小頂堆。

3.2  在O(n lg k)時間內，將k個排序表合并成一個排序表，n為所有有序表中元素個數。

【解析】取前100 萬個整數，構造成了一棵數組方式儲存的具有小頂堆，然後接著依次取下一個整數，如果它大於最小元素亦即堆頂元素，則將其賦予堆頂元素，然後用Heapify調整整個堆，如此下去，則最後留在堆中的100萬個整數即為所求 100萬個數字。該方法可大大節約記憶體。
3.3 一個檔案中包含了1億個隨機整數，如何快速的找到最大(小)的100萬個數字?（時間複雜度：O（n lg k））

4. 總結

堆是一種非常基礎但很實用的資料結構，很多複雜演算法或者資料結構的基礎就是堆，因而，瞭解和掌握堆這種資料結構顯得尤為重要。

5. 參考資料

（1）經典演算法教程《演算法導論》