二分圖最大覆蓋問題的匈牙利演算法

最大流問題（Maximum flow problem）中有一類很重要的問題被稱為最大二分匹配問題（Maximum-bipartite-matching problem）。很多現實中的例子可以被建模成該問題，如經典的任務分配問題（Task assignment problem）等等。這裡介紹一種常用解法-匈牙利演算法（Hungarian method ）。

這類問題在各種競賽題中也出現得比較多，有些形式直接，有些則比較隱含。這類問題多半可以抽象為這樣一個問題：給定一個n x m棋盤，其中指定點放一些子，然後問最少放多少個車（只能橫豎走），可以將所有預放的子吃掉，或者問如果指定點是間隔，最多可以放多少個車而相互不會吃掉。比較直接能被建模成最大二分匹配問題的如pku 3041 Asteroids（http://poj.org/problem?id=3041）。

#include <iostream>using namespace std;#define N128// if we can add a edge from node a into the solution bool dfs(int a, int grid[N][N], int *res, bool *visit, int n, int m){int j;for (j = 0; j < m; ++j) { // for each column. i.e. each node on the right side of the bipartite graphif (grid[a][j] && !visit[j]) { // there is an edge between node a and j, and it hasn't been visitedvisit[j] = 1;if (res[j] == 0 || dfs(res[j], grid, res, visit, n, m)) { // node j has no maching node yet, or there is an augmenting path from res[j]res[j] = a;return true;}}}return false;}int main(){int n, m;char c;int i;int count = 0;int grid[N][N];// grid[i][j] is 1 representing there is an edge between node i and j in the bipartile graphbool visit[N];// visit[i] is 1 if node i has been visitedint res[N];// res[i] represents the maching mode of node imemset(visit, 0, sizeof(bool) * N);memset(grid, 0, sizeof(int) * N * N);memset(res, 0, sizeof(int) * N);// construct the gridcin >> n >> m;for ( i = 0; i < n; ++i) {for (int j = 0; j < m; ++j) {cin >> c;grid[i][j] = (c == 'X') ? 1 : 0;}}cout << "input over" << endl;// main bodyfor (i = 0; i < n; ++i) { // for each row, i.e. each node on the left side of the bipartite graphmemset(visit, 0, sizeof(bool) * N);// clear the visit infomationif (dfs(i, grid, res, visit, n, m)) count++;}cout << "count = " << count << endl;return 0;}

上面的例子中，矩陣或棋盤的行列模型可以直接轉為二分圖模型（行，列分別對應二分圖兩連）。而上面的另一類問題中（即最多可以放多少個車），就得需要在構造二分圖時作一些處理，而演算法的主體是一樣的。這種問題的例子如RookAttack 2003 TCO Semifinal Round 4 - Division I, Level Three（http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=1931&rd=4709）和ZOJ 1002 Fire Net（http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=1002）。因為這裡二分圖中的結點對應的其實不是放置障礙物的點，而是沒有放置障礙物的地方，所以如果一行有n個障礙物，就在二分圖的左邊加n+1個結點，每個結點表示在兩個障礙之間的那一段。相似地，一列有m個障礙物，就在二分圖的右邊加m+1個結點。便於理解，可以將這些分裂後的行，列後看矩陣變形後的行，列號。