求前 n 個正整數的 k 次方和

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如何推導求和公式

\( 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

和

\( 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \)

呢？這需要一點技巧。

首先來看一個恒等式：

\( (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 \)

\( n^2=\frac{1}{3}\left [ (n+1)^3-n^3-(3n+1) \right ] \)

對上式求和，\( (n+1)^3-n^3 \) 會只剩首尾兩項（中間的消掉了），\( 3n+1 \) 是等差數列，求和公式已知。這樣就能求出二次方的求和公式。用同樣的方法，可以推出三次方的求和公式：

\( (n+1)^4 - n^4 = 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 \)

\( n^3 = \frac{1}{4}\left [ (n+1)^4 - n^4 - (6n^2+4n+1) \right ] \)

對上式求和，\( (n+1)^4 - n^4 \) 會只剩首尾兩項，\( 6n^2 \) 和 \( 4n+1 \) 求和公式已知（前者可以用上面推導的二次方的求和公式，後者是等差數列。這樣就能推出三次方的求和公式。一直這樣遞推下去就能得到各次的求和公式。

求前 n 個正整數的 k 次方和