caioj1090最小產生樹之kruskal演算法【模板元問題】

標籤：std   運算   原來   不清楚   clu   距離   idt   端點   相同   

首先總結一下概念：

什麼是最小產生樹呢？

一個有 n 個結點的連通圖的產生樹是原圖的極小連通子圖，且包含原圖中的所有 n 個結點，並且有保持圖連通的最少的邊。最小產生樹可以用kruskal（克魯斯卡爾）演算法或prim（普裡姆）演算法求出。

個人認為kruskal演算法還是比較優秀的。

所以此篇重點討論kruskal演算法。

1.概覽

Kruskal演算法是一種用來尋找最小產生樹的演算法，由Joseph Kruskal在1956年發表。用來解決同樣問題的還有Prim演算法和Boruvka演算法等。三種演算法都是貪婪演算法的應用。和Boruvka演算法不同的地方是，Kruskal演算法在圖中存在相同權值的邊時也有效。

 

圖例描述：

首先第一步，我們有一張圖Graph，有若干點和邊 

 

將所有的邊的長度排序，用排序的結果作為我們選擇邊的依據。這裡再次體現了貪心演算法的思想。資源排序，對局部最優的資源進行選擇，排序完成後，我們率先選擇了邊AD。這樣我們的圖就變成了右圖

 

 

 

 

在剩下的變中尋找。我們找到了CE。這裡邊的權重也是5

依次類推我們找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面繼續選擇， BC或者EF儘管現在長度為8的邊是最小的未選擇的邊。但是現在他們已經連通了（對於BC可以通過CE,EB來串連，類似的EF可以通過EB,BA,AD,DF來接連）。所以不需要選擇他們。類似的BD也已經連通了（這裡的連通線用紅色表示了）。

最後就剩下EG和FG了。當然我們選擇了EG。最後成功的圖就是右：

 

 

 

 

3.簡單證明Kruskal演算法

對圖的頂點數n做歸納，證明Kruskal演算法對任意n階圖適用。

歸納基礎：

n=1，顯然能夠找到最小產生樹。

歸納過程：

假設Kruskal演算法對n≤k階圖適用，那麼，在k+1階圖G中，我們把最短邊的兩個端點a和b做一個合併作業，即把u與v合為一個點v‘，把原來接在u和v的邊都接到v‘上去，這樣就能夠得到一個k階圖G‘(u,v的合并是k+1少一條邊)，G‘最小產生樹T‘可以用Kruskal演算法得到。

我們證明T‘+{<u,v>}是G的最小產生樹。

用反證法，如果T‘+{<u,v>}不是最小產生樹，最小產生樹是T，即W(T)<W(T‘+{<u,v>})。顯然T應該包含<u,v>，否則，可以用<u,v>加入到T中，形成一個環，刪除環上原有的任意一條邊，形成一棵更小權值的產生樹。而T-{<u,v>}，是G‘的產生樹。所以W(T-{<u,v>})<=W(T‘)，也就是W(T)<=W(T‘)+W(<u,v>)=W(T‘+{<u,v>})，產生了矛盾。於是假設不成立，T‘+{<u,v>}是G的最小產生樹，Kruskal演算法對k+1階圖也適用。

由數學歸納法，Kruskal演算法得證。

 

首先提示一下，畢竟是棵樹，我們決不能讓它形成環，所以要引入並查集。當發現一條路徑，判斷如果兩個點的祖先已經一樣了，說明這兩個點之前已被納入最小產生的樹的範疇，納入則成環，故此時不將其併入並查集（若並查集概念不清楚的可以訪問https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86/9388442?fr=aladdin，這個很容易弄清楚）。

還是附一下題：

1090: [視頻]最小產生樹（模版 kruskal演算法 元問題by scy）時間限制: 1 Sec  記憶體限制: 128 MB題目描述

 

【題目描述】 一個有n個點的連通無向圖，有m條無向邊，每條邊有一個長度c， 如果串連所有點，只需要從m條無向邊中選n-1條，為什嗎？ 現在要求這n-1條邊的長度和最小。

以上就是最小產生樹的概念。

【輸入格式】  第一行輸入 n和 m （1<=n<=1000,n-1<=m<=50 0000） 下來 m 行，每行三個數 x,y,c，表示點 x 和 點 y 有一條距離為 c 的無向邊。0<c<=20 【輸出格式】 一行一個整數，即串連n個點的最小長度和。 【範例1輸入】 5 5 1 2 1 2 3 1 3 4 2 4 5 1 5 1 1 【範例1輸出】 4 【範例2輸入】 7 9 1 6 5 5 1 6 7 4 1 6 7 8 5 3 2 4 5 3 4 2 4 2 3 5 3 1 7 【範例2輸出】 21

 

接下來我們用代碼說話：

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct edge{//結構體來存邊的資訊
　　int a,b,c;
　　// bool operator < (const edge &x) const 重載<運算子，當然為了結構體的比較你在外面寫函數也行
　　// { return c<x.c; }
}e[500000];//邊的資訊比較多，這裡不要吃虧！開大一點
int fa[1005];//並查集

int n,m;

bool cmp(const edge &x1,const edge &x2)
{
　　return x1.c<x2.c;
}

int find(int x)//找x的老祖先
{
　　if (fa[x]!=x) return fa[x]=find(fa[x]);//都是套路，遞迴壓縮路徑防逾時
　　return fa[x];
}

int main()
{
　　scanf("%d%d",&n,&m);
　　for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;//並查集的初始化
　　for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&e[i].a,&e[i].b,&e[i].c);
　　sort(e+1,e+m+1,cmp);
　　int t=0;//計邊數
　　int ans=0;//計答案

　　for (int i=1;i<=m;i++)
　　{
　　　　int k1=find(e[i].a);
　　　　int k2=find(e[i].b);
　　　　if (k1!=k2)//太好了！說明可以合并！
　　　　{
　　　　　　fa[k2]=k1;
　　　　　　ans+=e[i].c;
　　　　　　t++;
　　　　　　if (t==n-1) break;
　　　　}
　　}
　　printf("%d\n",ans);
　　return 0;
}

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