類斐波那契數列的奇妙性質

1、1、2、3、5、8、13、21、……。這個數列稱為斐波那契數列（Fibonacci Sequence）。

它有個奇妙的性質，記FN為斐波那契數列的第N項，則當N比較大的時候

FN/FN+1≈0.618

 

斐波那契數列有兩個常見的通項公式（具體的推導過程就忽略了）

1、

FN=FN-1+FN-2（N>2），F1=1，F2=2

 

2、

 

這個數列的前兩項F1=1，F2=1才稱為斐波那契數列，如果這個數列的前兩項是其他數字（正數），並且還有FN=FN-1+FN-2（N>2）的遞推關係，那麼這樣的數列，我稱之為類斐波那契數列，它是否還有當N比較大的時候，FN/FN+1≈0.618這個奇妙的性質呢？

 

答案是肯定的，比方說前兩項是2和7，這個數列就是

2、7、9、16、25、41、66、……

F16=5024，F17=8129，F16/F17=0.618034199

這不是巧合，你換什麼數字（正數）都一樣

 

下面就給出該性質的證明

假設數列為FN=FN-1+FN-2（N>2），F1=A，F2=B，（A>0，B>0），證明：

 

1、利用特徵方程求出該數列的通項公式

∵FN=FN-1+FN-2

∴特徵方程為X2=X+1

∴

∴該數列的通項公式為

，其中C1和C2是常數，可以利用F1=A，F2=B求出。不過和本證明沒啥太大的關係，沒必要求出

 

題外話：想當年在高中的時候，費了九牛二虎之力求出斐波那契數列的通項公式，歡欣雀躍了很久。現在卻發現線上性代數裡用特徵方程很簡單的就求出了通項公式，真是悲哀啊。回頭看看，有些年的高考數學壓軸題，其實用大學裡的數學知識去求解是很簡單的。然而在高考中，卻要使考生費九牛二虎之力，這算不算一種悲哀呢。再回頭看看，有些小學奧數班的內容，用高中的知識很容易解決，但是非得把小學生繞得雲裡霧裡，這算不算是一種悲哀呢

 

2、利用通項公式求出比值的極限

∵

∴

得證

 

這就證明了類斐波那契數列也有當N比較大的時候，FN/FN+1≈0.618這個奇妙的性質

 

玩個遊戲吧，現在你想兩個正數，然後相加得到第三個數，第二個數和第三個數相加得到第四個數，第三個數和第四個數相加得到第五個數，以此類推。

然後告訴我第十個數是多少？是280？那我告訴你第十一個數是453。你僅僅告訴我第十個數，沒有透露任何其他訊息，你沒透露第九個數，我是怎麼知道第十一個數呢？這不是巧合，而是通過計算而來的，你想明白了嗎？不明白的話，看看上面的證明，呵呵。