KMP的妙用（利用next數組尋找字串的迴圈節）

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利用KMP的next數組的性質，我們可以找到next數組的迴圈節。

先說結論：

設字串長n，則若其  i % ( i – next[n] ) == 0 ，則其有迴圈節（迴圈節數目大於1），其迴圈節數目為 i / ( i – next[n] )

這裡的next數組儲存的是匹配到i匹配不成立時，下一個要匹配的位置。即next數組記錄的是下一次匹配的位置，而不是下一次匹配的位移量，若是記錄的位移量，只需修改一下公式即可。

言歸正傳，我們先證明第一個結論，根據來進行說明：

若結論中的關係成立（整除為4段），則會出現如所示情況，其中，A2+A3+A4段 == A1’+A2’+A3’段。

由於

A2+A3+A4段 == A1’+A2’+A3’段

所以：

A2==A1’       A3==A2’      A4==A3’

又因為：

A1’==A1      A2’==A2      A3’==A3

所以：

A2==A1       A3==A2       A4==A3

具有迴圈節，結論得證。

根據next數組的性質，我們也可以得知此迴圈節的長度是最小的：

next[n]可以理解為字串首碼與尾碼最大的相同串。所以剩下的A1即為長度最小的迴圈節。

第二個結論很容易就能得出。

KMP的妙用（利用next數組尋找字串的迴圈節）