關係正常化之求最小函數依賴集（最小覆蓋）

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最小函數依賴集
一、等價和覆蓋
　　定義：關係模式R<U,F>上的兩個依賴集F和G，如果F+=G+，則稱F和G是等價的，記做F≡G。若F≡G，則稱G是F的一個覆蓋，反之亦然。兩個等價的函數依賴集在表達能力上是完全相同的。
　　
二、最小函數依賴集
　　定義：如果函數依賴集F滿足下列條件，則稱F為最小函數依賴集或最小覆蓋。
　　① F中的任何一個函數依賴的右部僅含有一個屬性；
　　② F中不存在這樣一個函數依賴X→A，使得F與F-{X→A}等價；
　　③ F中不存在這樣一個函數依賴X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}與F等價。
　　演算法：計算最小函數依賴集。
　　輸入 一個函數依賴集
　　輸出 F的一個等價的最小函數依賴集G
　　步驟：① 用分解的法則，使F中的任何一個函數依賴的右部僅含有一個屬性；
　　　　　② 去掉多餘的函數依賴：從第一個函數依賴X→Y開始將其從F中去掉，然後在剩下的函數依賴中求X的閉包X+，看X+是否包含Y，若是，則去掉X→Y；否則不能去掉，依次做下去。直到找不到冗餘的函數依賴；
　　　　　③去掉各依賴左部多餘的屬性。一個一個地檢查函數依賴左部非單個屬性的依賴。例如XY→A，若要判Y為多餘的，則以X→A代替XY→A是否等價？若A 
(X)+，則Y是多餘屬性，可以去掉。
　　舉例：已知關係模式R<U,F>，U={A,B,C,D,E,G}，F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,CE→AG}，求F的最小函數依賴集。
　　
解1：利用演算法求解，使得其滿足三個條件
　　
① 利用分解規則，將所有的函數依賴變成右邊都是單個屬性的函數依賴，得F為：F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}
　　 
② 去掉F中多餘的函數依賴
　　
A．設AB→C為冗餘的函數依賴，則去掉AB→C，得：F1={D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}
　　計算(AB)F1+：設X(0)=AB
　　計算X(1)：掃描F1中各個函數依賴，找到左部為AB或AB子集的函數依賴，因為找不到這樣的函數依賴。故有X(1)=X(0)=AB，演算法終止。
　　(AB)F1+= AB不包含C，故AB→C不是冗餘的函數依賴，不能從F1中去掉。
　　
B．設CG→B為冗餘的函數依賴，則去掉CG→B，得：F2={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}
　　計算(CG)F2+：設X(0)=CG
　　計算X(1)：掃描F2中的各個函數依賴，找到左部為CG或CG子集的函數依賴，得到一個C→A函數依賴。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。
　　計算X(2)：掃描F2中的各個函數依賴，找到左部為ACG或ACG子集的函數依賴，得到一個CG→D函數依賴。故有X(2)=X(1)∪D=ACDG。
　　計算X(3)：掃描F2中的各個函數依賴，找到左部為ACDG或ACDG子集的函數依賴，得到兩個ACD→B和D→E函數依賴。故有X(3)=X(2)∪BE=ABCDEG，因為X(3)=U，演算法終止。
　　(CG)F2+=ABCDEG包含B，故CG→B是冗餘的函數依賴，從F2中去掉。
　　
C．設CG→D為冗餘的函數依賴，則去掉CG→D，得：F3={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,ACD→B,CE→A,CE→G}
　　計算(CG)F3+：設X(0)=CG
　　計算X(1)：掃描F3中的各個函數依賴，找到左部為CG或CG子集的函數依賴，得到一個C→A函數依賴。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。
　　計算X(2)：掃描F3中的各個函數依賴，找到左部為ACG或ACG子集的函數依賴，因為找不到這樣的函數依賴。故有X(2)=X(1)，演算法終止。(CG)F3+=ACG。
　　(CG)F3+=ACG不包含D，故CG→D不是冗餘的函數依賴，不能從F3中去掉。
　　
D．設CE→A為冗餘的函數依賴，則去掉CE→A，得：F4={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→G}
　　計算(CG)F4+：設X(0)=CE
　　計算X(1)：掃描F4中的各個函數依賴，找到左部為CE或CE子集的函數依賴，得到一個C→A函數依賴。故有X(1)=X(0)∪A=CEA=ACE。
　　計算X(2)：掃描F4中的各個函數依賴，找到左部為ACE或ACE子集的函數依賴，得到一個CE→G函數依賴。故有X(2)=X(1)∪G=ACEG。
　　計算X(3)：掃描F4中的各個函數依賴，找到左部為ACEG或ACEG子集的函數依賴，得到一個CG→D函數依賴。故有X(3)=X(2)∪D=ACDEG。
　　計算X(4)：掃描F4中的各個函數依賴，找到左部為ACDEG或ACDEG子集的函數依賴，得到一個ACD→B函數依賴。故有X(4)=X(3)∪B=ABCDEG。因為X(4)=U，演算法終止。
　　(CE)F4+=ABCDEG包含A，故CE→A是冗餘的函數依賴，從F4中去掉。
　　
③ 去掉F4中各函數依賴左邊多餘的屬性（只檢查左部不是單個屬性的函數依賴）由於C→A，函數依賴ACD→B中的屬性A是多餘的，去掉A得CD→B。
　　故最小函數依賴集為：F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,CD→B,CE→G}
 
　　
解2：利用Armstrong公理系統的推斷規則求解
　　① 假設CG→B為冗餘的函數依賴，那麼，從F中去掉它後能根據Armstrong公理系統的推斷規則匯出。
　　因為CG→D （已知）
　　所以CGA→AD，CGA→ACD （增廣律）
　　因為ACD→B （已知）
　　所以CGA→B （傳遞律）
　　因為C→A （已知）
　　所以CG→B （偽傳遞律）
　　故CG→B是冗餘的。
　　② 同理可證：CE→A是多餘的。
　　③ 又因C→A，可知函數依賴ACD→B中的屬性A是多餘的，去掉A得CD→B。

　　故最小函數依賴集為：F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,CD→B,CE→G}

//資料庫編程實驗//求最小覆蓋Fm //輸入：屬性全集U，U上的函數依賴集F//輸出：函數依賴集F的最小覆蓋Fm #include <iostream>#include <string>using namespace std;struct FunctionDependence//函數依賴 {string X;//決定因素 string Y;};void Init (FunctionDependence FD[],int n){//函數依賴關係初始化int i;string x,y;cout<<"請輸入F中的函數依賴（決定因素在左，被決定因素在右）"<<endl; //輸入函數依賴集合F for (i=0;i<n;i++){cin>>x>>y;FD[i].X=x;FD[i].Y=y;} cout<<"函數依賴集合"; cout<<"F={" ;for (i=0;i<n;i++){//顯示已知的函數依賴集合F cout<<FD[i].X<<"->"<<FD[i].Y;if (i<n-1)cout<<", ";} cout<<"}"<<endl; }bool Match(string a,string b)//判斷兩個字串是否匹配{bool flag=false;int length1=a.length();int length2=b.length();int count=0;if (length1==length2){int i=0,j=0;//字串每一位是否相等 for (i=0;i<length1;i++){if(a[i]==b[i])count++;}if (count==length1)flag=true;}return flag;} string CutAndSort(string mm)//將最終得到的閉包去除其中重複的元素，並且進行排序 {int size=mm.length();string ss="\0"; int kk=0,ii=0;;int a[200]={0};//用來記錄各個命題出現的次數for(kk=0;kk<size;kk++) {a[(int)mm[kk]]++;//強制轉換類型，儲存各個因素的次數 }for (ii=0;ii<200;ii++){if (a[ii]>=1)ss+=(char)ii;} return ss;} bool IsIn(string f,string zz)//能夠判斷F中決定因素f裡所有的因素是否在X中，但這樣可能導致結果出現重複 {bool flag1=false;int len1=f.length();int len2=zz.length();int k=0,t=0,count1=0;for (k=0;k<len1;k++){for (t=0;t<len2;t++){if (f[k]==zz[t]){//flag1=true;break;count1++;}}}if (count1==len1){flag1=true;}else flag1=false;return flag1;}string FD_Fun(FunctionDependence FD[],int n,string xx){int i;//求X關於F的閉包for (i=0;i<n;i++){if (Match(FD[i].X,xx)==true){xx+=FD[i].Y;}else if (IsIn(FD[i].X,xx)==true){if (IsIn(FD[i].Y,xx)==false)//避免加上重複的元素 xx+=FD[i].Y;} }CutAndSort(xx);return CutAndSort(xx);}//從函數依賴集F中刪除某個依賴關係 left->rightvoid  Cut(FunctionDependence FD[],int n,string left,string right,FunctionDependence Dyna[]){int i=0,j=0,count=0;for (i=0;i<n;i++){if((FD[i].X==left)&&(FD[i].Y==right)){}else{Dyna[count].X=FD[i].X;Dyna[count].Y=FD[i].Y;count++;}}cout<<"\n去掉"<<left<<"->"<<right;cout<<"後的函數依賴集F："<<endl;cout<<"F={" ; for(j=0;j<count;j++){cout<<Dyna[j].X<<"->"<<Dyna[j].Y;if (j<count-1)cout<<",";}cout<<"}"<<endl;}bool RA(FunctionDependence a,FunctionDependence b)//判斷冗餘屬性{if ((IsIn(a.X,b.X)==true)&&(a.Y==b.Y)) {return true;}else return false;} void CutSameFD(FunctionDependence FD[],int n)//除去重複的函數依賴 {FunctionDependence Dyna1[n+20];FunctionDependence Dyna2[n+20];FunctionDependence Dyna3[n+20];FunctionDependence Dyna4[n+20];int i=0,j=0,k=0,count=0,count1=0,count2=0;for (i=0;i<n;i++){for (j=0;j<count;j++){if((FD[i].X==FD[j].X)&&(FD[i].Y==FD[j].Y))//有函數依賴重複{break;//跳過當前的函數依賴 } }if (j==count){Dyna1[count].X=FD[i].X;Dyna1[count].Y=FD[i].Y;count++; }}cout<<"去掉重複後的函數依賴集F="<<"{";for (k=0;k<count;k++){//去掉重複後的函數依賴集cout<< Dyna1[k].X<<"->"<<Dyna1[k].Y;if (k<count-1)cout<<",";}cout<<"}"<<endl;for (k=0;k<count;k++){//從第一個函數依賴X→Y開始將其從F中去掉，Cut( Dyna1,count,Dyna1[k].X,Dyna1[k].Y,Dyna2);//然後在剩下的函數依賴中求X的閉包X+，看X+是否包含Ycout<<Dyna1[k].X<<"關於F的閉包：";cout<<FD_Fun(Dyna2,count,Dyna1[k].X);//在剩下的函數依賴中求X的閉包X+if(IsIn(Dyna1[k].Y,FD_Fun(Dyna2,count,Dyna1[k].X))==true)//在閉包中 {cout<<"\n"<<Dyna1[k].X<<"->"<<Dyna1[k].Y<<"冗餘"<<endl;}else {cout<<"\n"<<Dyna1[k].X<<"->"<<Dyna1[k].Y<<"不冗餘"<<endl;Dyna3[count1].X=Dyna1[k].X;Dyna3[count1].Y=Dyna1[k].Y;count1++;}}cout<<"去冗餘函數依賴後的函數依賴集F={";for (i=0;i<count1;i++){cout<<Dyna3[i].X<<"->"<<Dyna3[i].Y;if (i<count1-1)cout<<",";} cout<<"}"<<endl;//去掉冗餘屬性for (i=0;i<count1;i++){for (j=0;j<count1;j++){if(RA(Dyna3[i],Dyna3[j])==true){break;}}Dyna4[count2].X=Dyna3[i].X;Dyna4[count2].Y=Dyna3[i].Y;count2++;}//求得最小覆蓋 cout<<endl; cout<<"最小覆蓋Fm="<<"{";for (k=0;k<count2;k++){cout<<Dyna4[k].X<<"->"<<Dyna4[k].Y;if (k<count2-1)cout<<",";} cout<<"}"<<endl;} void SingleR(FunctionDependence FD[],int n) //使F所有函數依賴的右部分解成單一屬性 {int lengthR=0,i=0,j=0,k=0;static int D=n;int count=0;FunctionDependence  DynamicFD[D+20];//建立新的空間來儲存所有的函數依賴 cout<<"右側屬性單一化後的函數依賴集F為："<<endl;cout<<"F={" ;for (i=0;i<n;i++){lengthR=(FD[i].Y).size();for (j=0;j<lengthR;j++)//將右部分解成單一屬性，添加到屬性集合的後面 {DynamicFD[count].X=FD[i].X;DynamicFD[count].Y= (FD[i].Y)[j];count++;}}for (k=0;k<count;k++){cout<<DynamicFD[k].X<<"->"<<DynamicFD[k].Y;if (k<count-1)cout<<", ";}cout<<"}"<<endl; D=count; CutSameFD(DynamicFD,D);}void Fmin(FunctionDependence FD[],int n)//求最小覆蓋 {Init(FD,n);SingleR(FD,n);}int main(){int N;cout<<"請輸入F中函數依賴的組數:"; cin>>N;FunctionDependence fd[N];Fmin(fd,N);//SingleR(fd,N);//CutSameFD(fd,N);//FD(fd,N);return 0;} 

很後悔沒有用鏈式結構，導致增加刪除節點很麻煩，權當作為概念理解的協助吧。

關係正常化之求最小函數依賴集（最小覆蓋）