三種數學語言的相互轉化

標籤：區間   sub   rac   line   映像   var   兩種   not   ora   

\(\hspace{1cm}\)高中數學中的三種常用的數學語言：自然語言，符號語言，圖形語言，她們在題目的求解中會不停的轉化，如果不瞭解她們的轉化，碰到題目準會抓瞎。

例1：

符號語言：\(\forall x_1\in A\)，\(\exists x_2\in B\)，使得方程\(g(x_2)=f(x_1)\)成立，先轉化如下，

符號語言：\(\{y\mid y=f(x)，x\in A\}\subseteq \{y\mid y=g(x)，x\in B\}\)；

自然語言：即函數\(y=f(x)\)的範圍是函數\(y=g(x)\)的範圍的子集。

例2：

符號語言：$ab=0\Leftrightarrow $ 自然語言：\(a=0\)或\(b=0\)；

符號語言：$ab\neq 0\Leftrightarrow $ 自然語言：\(a\neq 0\)且\(b\neq0\)；

符號語言：$ab\ge 0\Leftrightarrow $ 自然語言：\(\begin{cases}a\ge 0\\b\ge0 \end{cases}\)或\(\begin{cases}a\leq 0\\b\leq 0 \end{cases}\)；

符號語言：$ab\leq 0\Leftrightarrow $ 自然語言：\(\begin{cases}a\ge 0\\b\leq 0 \end{cases}\)或\(\begin{cases}a\leq 0\\b\ge 0 \end{cases}\)；

符號語言：$a^2+b^2=0\Leftrightarrow $ 自然語言：\(a=0\)且\(b=0\)； 自然語言：\(a、b\)全為零；

符號語言：$a^2+b^2\neq 0\Leftrightarrow $ 自然語言：\(a\neq 0\)或\(b\neq 0\)； 自然語言：\(a、b\)不全為零；

例3：

自然語言：若函數\(f(x)\)與函數\(g(x)\)的映像上存在關於\(x\)軸的對稱點，$\Leftrightarrow $ 符號語言：方程\(f(x)=-g(x)\)有解；

自然語言：若函數\(f(x)\)與函數\(g(x)\)的映像上存在關於\(y\)軸的對稱點，$\Leftrightarrow $ 符號語言：方程\(f(-x)=g(x)\)有解；

自然語言：若函數\(f(x)\)與函數\(g(x)\)的映像上存在關於原點\((0，0)\)的對稱點，$\Leftrightarrow $ 符號語言：方程\(f(x)=-g(-x)\)有解；

例4：

自然語言：關於\(x\)的不等式\(\cfrac{ax-5}{x-a}<0\)的解集是\(M\)，若\(3\in M\)且\(5\notin M\)，求實數\(a\)的範圍；$\Leftrightarrow $

符號語言：\(3\in M\)對應於\(\cfrac{3a-5}{3-a}<0\)，

\(5\notin M\)對應與兩種情形：不等式分母為零\(5-a=0\)和\(\cfrac{5a-5}{5-a}\ge 0\)，

故需要求解\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{3a-5}{3-a}<0}\\{5-a=0}\end{array}\right.①\)和\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{3a-5}{3-a}<0}\\{\cfrac{5a-5}{5-a}\ge 0}\end{array}\right.②\)

解①得到\(a=5\)，

解②得到\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{5}{3}<a<3}\\{1\leq a<5}\end{array}\right.\)，即\(\cfrac{5}{3}<a<3\)

綜上可知實數\(a\)的範圍為\(\cfrac{5}{3}<a<3或a=5\)。

例5：題目中出現\(A\subseteq B\)時，常常意味著集合\(A\)有兩種情形：\(A=\varnothing\)和\(A\neq \varnothing\)。

\(A\subseteq B\) \(\Longleftrightarrow\) \(A\cap B=A\) \(\Longleftrightarrow\) \(A\cup B=B\) \(\Longleftrightarrow\) \(C_UB\subseteq C_UA\)
\(\Longleftrightarrow\) \(A\cap(C_UB)=\varnothing\)

例6：恒成立、能成立類命題

①自然語言：\(A\ge f(x)\)在區間\([a，b]\)上恒成立， $\Leftrightarrow $ 符號語言：\(A\ge f(x)_{max}\)；

自然語言：\(A\leq f(x)\)在區間\([a，b]\)上恒成立， $\Leftrightarrow $ 符號語言：\(A\leq f(x)_{min}\)；

②自然語言：\(A\ge f(x)\)在區間\([a，b]\)上能成立， $\Leftrightarrow $ 符號語言：\(A\ge f(x)_{min}\)；

自然語言：\(A\leq f(x)\)在區間\([a，b]\)上能成立， $\Leftrightarrow $ 符號語言：\(A\leq f(x)_{max}\)；

③ 符號語言：對\(\forall x_1\in [2，3]\)，\(\exists x_2\in [4，5]\)，滿足\(f(x_1)\ge g(x_2)\)；

$\Leftrightarrow $ 符號語言：\(f(x_1)_{min}\ge g(x_2)_{min}\)；

④

⑤

⑥

三種數學語言的相互轉化