二叉樹的性質

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二叉樹的性質

性質1：在二叉樹的第i層上至多有2i-1個結點（i≥1）。（數學歸納法可證）

性質2：深度為k的二叉樹最多有2k-1個結點（k≥1）。（由性質1，通過等比數列求和可證）

性質3：一棵二叉樹的葉子結點數為n0，度為2的結點數為n2，則n0 = n2 + 1。

證：結點總數n = n0 + n1 + n2。設B為分支總數，因為除根節點外，其餘結點都有一個分支進入，所以n = B + 1。又因為分支是由度為1或2的結點射出，所以B = n1 + 2n2。綜上：n = n0 + n1 + n2 = B + 1 = n1 + 2n2 + 1，得出：n0 = n2 + 1。

性質4：具有n個結點的完全二叉樹的深度為floor(log2n) + 1 。

性質5：如果對一棵有n個結點的完全二叉樹（其深度為floor(log2n) + 1 ）的結點按層序編號，則對任一結點i（1≤i≤n）有：

（1） 如果i = 1，則結點i是二叉樹的根，無雙親；如果i > 1，則其雙親PARENT(i)是結點 floor((i)/2)。

（2）如果2i > n，則結點i無左孩子；否則其左孩子LCHILD(i)是結點2i。

（3）如果2i + 1 > n，則結點i無右孩子；否則其右孩子RCHILD(i)是結點2i + 1。

例題：

    一顆完全二叉樹上有1001個結點，                樹的高度是多少？                其葉子結點的個是多少？                假如從1 開始編號，則編號最小的葉子結點編號為多少？                有多少條邊？      解答：1.利用性質4，10            2.501            3.最後一個結點是1001，則其父節點編號500，500之後的結點全部為葉子結點，葉子結點為501個.並且第一個葉子結點編號也為501（巧合！！！！）            4.1000條邊

如有錯誤之處，還請多多包涵，歡迎指正！！

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