莫比烏斯函數的證明__數論

遺忘是可怕的東西……好記性不如爛筆頭講真…… 命題

現在假設我不知道什麼是莫比烏斯函數，只知道 F(x)=∑d∣xf(d) F(x)=\sum_{d\mid x}f(d) 若已知 F(x) F(x)，求 f(x) f(x)的運算式。

性質

從已知的關係，可以得到性質：
1. 若 y|x(y<x) y|x(y，則 F(y) F(y)包含的所有 f(d) f(d)都被 F(x) F(x)包含了， F(y) F(y)不能包含 f(x) f(x)
2. 包含 f(x) f(x)的最小項是 F(x) F(x) 構造

記 x x的第 i i小的約數是 yi(yi<x) y_i(y_i，共有 k k個約數，則 f(x)=F(x)−∑1≤i≤kf(yi) f(x)=F(x)-\sum_{1\leq i\leq k} f(y_i)由於左邊的 f(x) f(x)是一次的，所以右邊是 F(yi) F(y_i)的線性組合，設 ai a_i作為