紅/黑樹狀結構——首身離兮心不懲

最後我們來探究紅/黑樹狀結構的刪除演算法，相比插入操作，它的情況更複雜一些。因此直接考慮很容易撞到南牆，我們更需要利用轉化與化歸的思想（還記得高中數學四大思想方法吧，這裡一樣適用），通過提升變化，把紅/黑樹狀結構映射成一顆B-樹，並站在後者的角度，反過來理解前者的原理。但我們更需要關心重構作業，也就是一系列的旋轉和修複過程，並在此過程中留意他的重構次數都是$O\left( 1 \right)$層級的。

 

這個刪除操作還挺複雜的。。。可以說繁瑣到了讓人噁心的地步，各位做好心理準備。可以在旁邊準備個塑料袋或者盆什麼的，省的沒地方。。。

 

先給出一些輔助函數，方便後續使用

Position SearchIn(Position v,int e,Position& parent){//返回指向父節點指標的引用，因為後續要做左值    if (!v || (e == v->value)) return v; //遞迴基，如果直接命中或不存在則返回    parent=v; //一般情況則是先記下當前節點,然後深入一層。    return SearchIn((e < v->value ? v->left : v->right), e, parent);}//傳回值指向命中節點，parent為其父。Position Search(int target,RedBlackTree T){    return SearchIn(T, target, p);}Position GetParentOf(int e){    Search(e, fir);    return p;}//由於我寫的結構體裡沒有parent指標，所以通過這個函數等效擷取。Position GetParentOf(Position T){ //得到T的父節點    Search(T->value, fir);    return p;}int IsLChild(Position p){  //判斷p點是否為某個節點的左孩子    if (GetParentOf(p) != fir  && GetParentOf(p)->left == p)        return 1;    else return 0;}Position& FromParentTo(Position p){  //返回某個節點來自父親的指標    if(GetParentOf(p) == fir) return p; //處理P是根的情況    if (GetParentOf(p) ->left ==p)   // p is leftChild        return GetParentOf(p)->left;    else        return GetParentOf(p)->right;}

 

紅/黑樹狀結構的刪除也類似BST刪除，自頂向下（參看前面二叉樹實現一文），如果被刪除節點X並非葉子，我們會考慮用它的直接後繼（右子樹上的最小元素）代替，這樣X頂多有一個右孩子，或者X被轉移到葉子的位置，直接刪除即可。但有一些情況需要仔細分析，因為紅/黑樹狀結構規則有其他的限制。

比如在這副圖中節點x在被刪除之後，將由它的某一個後代r來替代，這樣一來紅/黑樹狀結構的性質就未必都能繼續滿足了，驗證一下：首先紅/黑樹狀結構的根、外部節點沒有受影響，但在此局部有可能會出現兩個連續的紅色節點，而更重要的是在被刪除節點所在的路徑上，黑節點的數目 可能變化，第四條規則不一定能滿足了。另外有一大類的情況，還是非常容易處理的。就是被刪除節點x 與它的替代者r之間有一個是紅的（當然不可能全紅），如上下這兩張圖的情況。

 

這種情況只要把替代者r染為黑色即可，就保證第4條規則不受影響了。原因在於，從刪除操作之前的樹結構可見，在此局部都包含一條指向紅節點的虛邊，上篇說過這類虛邊對於黑高度是沒有影響的，因此在把r染黑之後，都相當於刪除了一條虛邊，因此所有外部節點的黑深度不受影響。紅色葉子的刪除還好說，問題就在於如果這葉子是黑色的，刪除之後規則4就被破壞了。解決思路就是：保證從上到下刪除期間樹葉始終是紅色的。下面詳細分析一下這一類情況。

有可能被刪除節點和替代者都是黑色的，

這種情況我們也稱之為雙黑，此時這兩個節點所屬的那條路徑而言黑長度必然會減少一個單位，從而必然違背紅/黑樹狀結構的第四條規則。而且不幸的是，前面簡明的方法，也不再有效。在給出新的方法之前，我們或需要從另一個角度來體會，問題究竟出在哪。什麼角度呢 ？當然啦，就是B樹。如果x和r都是黑色的，那麼在對應的4階B樹中，x將獨自成為一個內部節點

於是在唯一的這個關鍵碼被刪除之後，這個節點也就發生下溢。因此我們的調整演算法與其說是在紅/黑樹狀結構中修複雙黑缺陷，不如說是在B樹中修複下溢缺陷。為此我們需要考察兩個節點：首先是刪除之後，節點r的父親p；此外我們還需要在原樹中考察節點r的兄弟S。

先給出在某處刪除節點的辦法，和BST很像

Position removeAt(Position x){    Position temp;    if (x->left && x->right) {        temp=FindMin(x->right);        x->value=temp->value;        x->right=removeAt(x->right);    }    else{        temp=x;        if(!x->left) x=x->right;        else if (!x->right) x=x->left;        free(temp);    }    return x;}//返回被刪除節點的位置

 

以下我們就分4種情況分別處置

 

第一種情況：S為黑，且至少有一個紅色孩子

以一字型為例（左），其餘的情況都與之對稱或相似。調整辦法就是做相應旋轉和重新染色（右）。染色規則是：r繼續保持黑色，而t和p都染黑，而s將繼承此前根節點p的顏色。

這裡的4棵子樹其黑高度都是一樣的，因此調整之後紅/黑樹狀結構的所有性質都恢複了。這一轉換方法並非偶然，而是有著深刻的原理，就是B樹。接下來就讓我們轉到B樹的角度，來反觀這種變換的效果。

可以看到，雙黑缺陷對應於一次下溢，所幸的是，發生下溢的這個節點擁有一個足夠富有的兄弟，可以通過旋轉消除下溢。具體來說下溢節點將從父親那借得一個關鍵碼，而父親再向那個兄弟借入一個關鍵碼以填補空缺。

經過這樣的旋轉，可以看到下溢節點得到了修複。

 

接下來把修複之後的B樹，還原為對應的那棵紅/黑樹狀結構即可，與直接在紅/黑樹狀結構上所做的變換是完全一致的。

新的這個關鍵碼 會依然繼承它前任的顏色，所以絕對不會在其他位置再次造成雙黑。從這個意義上講，這種情況是相對簡單的，體現在可以僅通過一次旋轉完成。換句話說至少有一個紅色孩子。那這種情況既然是簡單的，我們也很容易得知：更難的情況是沒有一個孩子為紅。那又該如何應對呢？

 

第二種情況：S為黑，兩個孩子都為黑。但是P是紅色。

這種情況又進而分為兩種子情況，它們的區別就在於：此時的父節點P究竟是紅還是黑，我們先討論紅色的情況。

首先將此前的紅/黑樹狀結構 轉換為對應的B樹，依然在這個位置上發生了一次下溢。此時我們並不能實施旋轉調整，原因是此時的兄弟節點s已經沒有餘糧了，自己已經處於下溢的邊緣試探了，並不足以借出任何的關鍵碼。還記得之前怎麼處理的吧，合并。從父節點中取出一個元素，並且以它作為粘合劑，將左和右兩個節點合二為一。修複的結果如下：

然後變換回對應的紅/黑樹狀結構，就可以得到在紅/黑樹狀結構中的一種可行調整方案： 

現在站在紅/黑樹狀結構的角度來觀察這個過程，結果相當於r保持此前的黑色，而s由黑轉紅，同時p由紅轉黑。所以在紅/黑樹狀結構中的上述調整過程，完全等效於在B樹中某個節點通過與它的兄弟合并來消除下溢。而且這一個局部雙黑缺陷的修複，也意味著紅/黑樹狀結構的性質能夠得以在全域得到恢複，一次修複，徹底修複。

 

 

第三種情況：S為黑，兩個孩子都為黑。而且P是黑色。

同樣的站在B樹的角度來看，此時依然會發生一次下溢，而且同樣只能通過兄弟節點的合并來加以消除。

 

與第二種情況的不同之處在於，此時的元素p是獨自成為一個內部節點，因此當這個唯一的元素p被借出之後，此前的父節點將註定發生下溢。也就是說，在這種情況下雙黑缺陷有可能會向上傳播一層，甚至繼續上傳，直到最後的樹根。如果還採用老辦法修複，至多也就發生logn次，那問題來了，拓撲結構也會隨之變化logn次？這可不是個好訊息。

 

其實只要回到紅/黑樹狀結構，就可以形象地理解這個複雜的調整

需要再次強調的是：經過這樣的調整，紅/黑樹狀結構的拓撲結構沒有實質變化。也就是說 整個調整過程所執行的重構作業，不超過O（1）依然有可能落實。以下 我們只剩下最後一種情況。也就是兄弟節點s有可能不是黑色，而是紅色。

 

第四種情況：S為紅，孩子均為黑

參照普通BST的刪除，我們只需要轉化為之前的某種情況就行了，而不用另起爐灶。為此我們需要再次站在對應B樹的角度：

此時的p和s共同的結為一個3分支的內部節點，在此時的B樹中，只需令s和p互換顏色，而無需做任何實質的結構調整。當然在對應的紅/黑樹狀結構中，需要做一次結構調整。具體來說就是要圍繞節點p旋轉，同時翻轉s和p的顏色。

 

 

到這裡我們或許有些失望，因為問題並沒有解決。比如原先黑高度的異常依然存在。然而實際上這步轉換並非沒有意義，因為此前的矛盾焦點在於節點r的兄弟s為紅色，現在在無形中r已經擁有了一個黑的兄弟s'，於是此後必然會跳出第四種情況，而轉入此前所討論的3種情況。而更好的訊息是，下面只可能轉入其中的第1或者第2種情況，而不會是第3種。因為第3種的特徵是父節點p必須是黑的，經過剛才的變換，p已經悄然變成紅色。而1，2的情況的計算複雜度更小，因為不會向上蔓延。所以經過如此調整之後，只需再做一輪遞迴，整個紅/黑樹狀結構必然會完整修複。

那麼具體的代碼實現就是：

void solveDoubleBlack(Position x){  //雙黑缺陷的修複    Position p=GetParentOf(x);  //r的父親    if(!p) return;    Position sibling= (x==p->left)? p->right : p->left;//r的兄弟    if (sibling -> col==black){  //兄弟為黑        Position temp=NULL;        if( sibling ->left && sibling->left->col==red)            temp=sibling->left;        else if (sibling ->right && sibling->right->col==red)            temp=sibling->right;        if (temp) {  //情況1：黑s有紅色孩子            Color oldCol=p->col;//備份原來的根p的顏色，            FromParentTo(p) =Rotate(sibling->value,p);//做重平衡            Position b=FromParentTo(p);            //然後把新子樹的左右孩子染黑            if(b->left) b->left->col=black;            if(b->right) b->right->col=black;            b->col=oldCol;    //新樹根繼承原來的顏色        }        else{   //情況2、3：黑s無紅色孩子            sibling->col=red; //s轉紅            sibling->Height--;            if(p->col ==red)    //情況2                p->col=black;            else{            //情況3                p->Height--;  //顏色保持，但是黑高度減1                solveDoubleBlack(p);            }}}    else{ //情況4:兄弟為紅        sibling->col=black;        p->col=red;  //s轉黑，p轉紅        Position t= IsLChild(sibling)?sibling->left:sibling->right;        FromParentTo(p)=Rotate(sibling->value,p);    }    solveDoubleBlack(x);}//正式的刪除過程void Delete(int e,RedBlackTree T) {    Position X = Search(e, T);  //X指向被刪除節點    if(!X)  printf("%d not found!",e);    Position r=removeAt(X);    if(GetParentOf(r) ==fir)//如果是根節點，將其染黑        r->col=black;        if (r->col==red) //如果r為紅色,直接染黑就行        r->col=black;    //以下情況：原來的x（現在的r，因為被刪除了嘛，然後替換了）均為黑色    solveDoubleBlack(r);}

看起來就很。。。一言難盡。這個代碼暫時還有一些小問題，但是足夠協助我們理解刪除過程了，可以暫且當成虛擬碼。 本來想著先不放上來吧，但是光看圖理解的話，似是而非，所以還是看看代碼實現吧。

 

現在作一總結，以下是刪除的情況分析：

每一次刪除操作 在每一高度上至多隻會花費常數時間，由此可知紅/黑樹狀結構的刪除時間複雜度不會超過$O\left( \log n \right)$。通過以上概括可以發現，紅/黑樹狀結構的刪除至多隻需做$\log n$次的重染色，以及常數次的結構調整。這也是紅/黑樹狀結構優於AVL樹的一個重要方面。還記得吧，在介紹紅/黑樹狀結構伊始就提到過，這個特性對於持久性結構的實現是至關重要的。