求逆元的相關知識

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　　定義：滿足a*k≡1 (mod p)的k值就是a關於p的乘法逆元。

　　（1）為什麼要有乘法逆元呢？

　　　　答：當我們要求（a/b） mod p的值，且a很大，無法直接求得a/b的值時，我們就要用到乘法逆元。

　　（2）如何求逆元？

　　　　答：我們可以通過求b關於p的乘法逆元k，將a乘上k再模p（ 即(a*k)%p，這樣比較好算 ）。其結果與 (a/b) % p 等價。

　　（3）如何證明？

　　證明：
　　　　根據b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1，那麼k=(p*x+1)/b。
　　　　把k代入(a*k) mod p，得：
　　　　　　(a*(p*x+1)/b) mod p
　　　　=((a*p*x)/b+a/b) mod p
　　　　=[((a*p*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
　　　　=[(p*(a*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
　　　　//註：p*[(a*x)/b] mod p=0，因為既然要模數，a/b的結果肯定是為正整數。
　　　　所以原式等於：(a/b) mod p 

　　證畢！

 

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