tarjan演算法求有向圖強連通分量

這兩天學習了tarjan解決強連通分量的方法，來晒晒。。

參考 ：http://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan/       
（byvoid的）

         

http://www.codewaysky.com/                       

（codewaysky）

[有向圖強連通分量]

 

在有向圖G中，如果兩個頂點間至少存在一條路徑，稱兩個頂點強連通(strongly
connected)。如果有向圖G的每兩個頂點都強連通，稱G是一個強連通圖。非強連通圖有向圖的極大強連通子圖，稱為強連通分量(strongly connected components)。

 

中，子圖{1,2,3,4}為一個強連通分量，因為頂點1,2,3,4兩兩可達。{5},{6}也分別是兩個強連通分量。

 

 

直接根據定義，用雙向遍曆取交集的方法求強連通分量，時間複雜度為O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju演算法或Tarjan演算法，兩者的時間複雜度都是O(N+M)。本文介紹的是Tarjan演算法。

[演算法流程示範]

從節點1開始DFS，把遍曆到的節點加入棧中。搜尋到節點u=6時，DFN[6]=LOW[6]，找到了一個強連通分量。退棧到u=v為止，{6}為一個強連通分量。

返回節點5，發現DFN[5]=LOW[5]，退棧後{5}為一個強連通分量。

返回節點3，繼續搜尋到節點4，把4加入堆棧。發現節點4向節點1有後向邊，節點1還在棧中，所以LOW[4]=1。節點6已經出棧，(4,6)是橫叉邊，返回3，(3,4)為樹枝邊，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

繼續回到節點1，最後訪問節點2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1後，發現DFN[1]=LOW[1]，把棧中節點全部取出，組成一個連通分量{1,3,4,2}。

至此，演算法結束。經過該演算法，求出了圖中全部的三個強連通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以發現，運行Tarjan演算法的過程中，每個頂點都被訪問了一次，且只進出了一次堆棧，每條邊也只被訪問了一次，所以該演算法的時間複雜度為O(N+M)。

求有向圖的強連通分量還有一個強有力的演算法，為Kosaraju演算法。Kosaraju是基於對有向圖及其逆圖兩次DFS的方法，其時間複雜度也是
O(N+M)。與Trajan演算法相比，Kosaraju演算法可能會稍微更直觀一些。但是Tarjan只用對原圖進行一次DFS，不用建立逆圖，更簡潔。
在實際的測試中，Tarjan演算法的運行效率也比Kosaraju演算法高30%左右。此外，該Tarjan演算法與求無向圖的雙連通分量(割點、橋)的Tarjan演算法也有著很深的聯絡。學習該Tarjan演算法，也有助於深入理解求雙連通分量的Tarjan演算法，兩者可以類比、組合理解。

求有向圖的強連通分量的Tarjan演算法是以其發明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan還發明了求雙連通分量的Tarjan演算法，以及求最近公用祖先的離線Tarjan演算法，在此對Tarjan表示崇高的敬意。

代碼：

我的pascal

View Code

 1    type
 2      ji=^rec;
 3      rec=record
 4        data:longint;
 5        next:ji;
 6      end;
 7    var
 8     i,j,n,m,k,l,tot,x,y,color,top:longint;
 9      lack,col,q,dfn,low:array[1..200000]of longint;
10      a:array[1..200000]of ji;
11    function min(x,y:longint):longint;
12      begin
13        if x<y then exit(x);
14        exit(y);
15      end;
16    procedure insert(x,y:longint);
17      var
18        p:ji;
19      begin
20        new(p);
21        p^.data:=y;
22        p^.next:=a[x];
23        a[x]:=p;
24      end;
25    procedure tarjan(x:longint);
26      var
27        now:ji;
28        i,j,y:longint;
29      begin
30        inc(tot);dfn[x]:=tot;low[x]:=tot;
31        inc(top);q[top]:=x;lack[x]:=top;
32        now:=a[x];
33        while now<>nil do
34          begin
35            y:=now^.data;
36            if dfn[y]=0 then
37              begin
38                tarjan(y);
39                low[x]:=min(low[x],low[y]);
40              end
41            else if lack[y]<>0 then low[x]:=min(low[x],dfn[y]);
42            now:=now^.next;
43          end;
44        if low[x]=dfn[x] then
45          begin
46            inc(color);
47            j:=lack[x];
48            for i:=j to top do
49              begin
50                col[q[i]]:=color;
51                lack[q[i]]:=0;
52              end;
53            top:=j-1;
54          end;
55      end;
56    begin
57      readln(n,m);
58      for i:=1 to m do
59        begin
60          readln(x,y);
61          insert(x,y);
62        end;
63      tarjan(1);
64      for i:=1 to n do writeln(col[i]);
65     end.