PHP演算法 《圖》 之 理論基礎

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Ⅰ 圖的基本概念

1. 圖的定義

定義：圖(graph)是由一些點(vertex)和這些點之間的連線(edge)所組成的；其中，點通常被成為"頂點(vertex)"，而點與點之間的連線則被成為"邊或弧"(edege)。通常記為，G=(V,E)。

2. 圖的種類

根據邊是否有方向，將圖可以劃分為：無向圖和有向圖。

2.1 無向圖

上面的圖G0是無向圖，無向圖的所有的邊都是不區分方向的。G0=(V1,{E1})。其中，

(01) V1={A,B,C,D,E,F}。 V1表示由"A,B,C,D,E,F"幾個頂點組成的集合。 
(02) E1={(A,B),(A,C),(B,C),(B,E),(B,F),(C,F), (C,D),(E,F),(C,E)}。 E1是由邊(A,B),邊(A,C)...等等組成的集合。其中，(A,C)表示由頂點A和頂點C串連成的邊。

2.2 有向圖

上面的圖G2是有向圖。和無向圖不同，有向圖的所有的邊都是有方向的！ G2=(V2,{A2})。其中，

(01) V2={A,C,B,F,D,E,G}。 V2表示由"A,B,C,D,E,F,G"幾個頂點組成的集合。 
(02) A2={<A,B>,<B,C>,<B,F>,<B,E>,<C,E>,<E,D>,<D,C>,<E,B>,<F,G>}。 E1是由向量<A,B>,向量<B,C>...等等組成的集合。其中，向量<A,B)表示由"頂點A"指向"頂點C"的有向邊。

3. 鄰接點和度

3.1 鄰接點

一條邊上的兩個頂點叫做鄰接點。 
例如，上面無向圖G0中的頂點A和頂點C就是鄰接點。

在有向圖中，除了鄰接點之外；還有"入邊"和"出邊"的概念。 
頂點的入邊，是指以該頂點為終點的邊。而頂點的出邊，則是指以該頂點為起點的邊。 
例如，上面有向圖G2中的B和E是鄰接點；<B,E>是B的出邊，還是E的入邊。

3.2 度

在無向圖中，某個頂點的度是鄰接到該頂點的邊(或弧)的數目。 
例如，上面無向圖G0中頂點A的度是2。

在有向圖中，度還有"入度"和"出度"之分。 
某個頂點的入度，是指以該頂點為終點的邊的數目。而頂點的出度，則是指以該頂點為起點的邊的數目。 
頂點的度=入度+出度。 
例如，上面有向圖G2中，頂點B的入度是2，出度是3；頂點B的度=2+3=5。

4. 路徑和迴路

路徑：如果頂點(Vm)到頂點(Vn)之間存在一個頂點序列。則表示Vm到Vn是一條路徑。 
路徑長度：路徑中"邊的數量"。 
簡單路徑：若一條路徑上頂點不重複出現，則是簡單路徑。 
迴路：若路徑的第一個頂點和最後一個頂點相同，則是迴路。 
簡單迴路：第一個頂點和最後一個頂點相同，其它各頂點都不重複的迴路則是簡單迴路。

5. 連通圖和連通分量

連通圖：對無向圖而言，任意兩個頂點之間都存在一條無向路徑，則稱該無向圖為連通圖。 對有向圖而言，若圖中任意兩個頂點之間都存在一條有向路徑，則稱該有向圖為強連通圖。

連通分量：非連通圖中的各個連通子圖稱為該圖的連通分量。

6. 權

在學習"哈夫曼樹"的時候，瞭解過"權"的概念。圖中權的概念與此類似。

上面就是一個帶權的圖。

Ⅱ 圖的儲存結構

上面瞭解了"圖的基本概念"，下面開始介紹圖的儲存結構。圖的儲存結構，常用的是"鄰接矩陣"和"鄰接表"。

1. 鄰接矩陣

鄰接矩陣是指用矩陣來表示圖。它是採用矩陣來描述圖中頂點之間的關係(及弧或邊的權)。 
假設圖中頂點數為n，則鄰接矩陣定義為：

下面通過來進行解釋。

圖中的G1是無向圖和它對應的鄰接矩陣。

圖中的G2是無向圖和它對應的鄰接矩陣。

通常採用兩個數組來實現鄰接矩陣：一個一維數組用來儲存頂點資訊，一個二維數組來用儲存邊的資訊。 
鄰接矩陣的缺點就是比較耗費空間。

2. 鄰接表

鄰接表是圖的一種鏈式儲存表示方法。它是改進後的"鄰接矩陣"，它的缺點是不方便判斷兩個頂點之間是否有邊，但是相對鄰接矩陣來說更省空間。

圖中的G1是無向圖和它對應的鄰接矩陣。

圖中的G2是無向圖和它對應的鄰接矩陣。

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