唯一分解定理

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唯一分解定理內容：每個正整數都可以分解成若干質數的乘積，質數從小到大排列（乘積可以是0,1,2......）

用數學式子表示則：對任一整數a＞1，有a= (p1^a1)*(p2^a2)…(pn^an) ，其中p1<p2<…<pn均為素數，而a1,a2…,an是正整數。（1是個特殊情況，不算入）

那麼，背記重點來了：

1.a的正約數的個數：（每個都是從a0到an）

舉個例子：

　　a=40=2^3*5^1；

　　n=(1+3)(1+1)=8;

　　1 40 2 20 4 10 5 8

2.a的正約數的和為：

　　還是上面的例子

　　sum=90；

　　sum=（1+2+4+8）（1+5）=90，bingo！

3.a的歐拉函數

 　　fy（40）=16；

　　fy（40）=2^2*5^0*(2-1)*(5-1)=16,bingo!

 

應用：

1.求n的質因數分解：

 1 k=2; 2 while (k*k<=a) 3     {if (a%k==0)  4         while (a%k==0) 5             { 6              a/=k; …//對因子重數的其他處理  7              } 8      k++; 9     }10 if (a>1) …//再對分解最後的那個質數進行處理 

2.求n的約數和

 1 int sum ( int n ) 2 {int k, res, tmp; 3  k=2; res=1; 4  while (k*k<=a) 5     {tmp=1; 6       while (n%k==0) {n/=k;tmp=tmp*k+1;}  7       res*=tmp; 8       k++; 9     }10  if (n>1)  res*=(1+n);11  return res;12 } 

 

 

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