【這篇不含代碼】為什麼會有母函數？母函數漫談及其解題的思路。

今天看了下母函數，不太懂。再看，似乎微懂了點。首先，他們的題都是差不多的，求種類、求方案數，幾分硬幣有幾個之類的。       

首先要知道，母函數是用來求種類的，它巧妙的運用了多項式展開的法則，本質就是多項式的乘法。

首先，拋出一般的情況，從具有實用性的(1+x)^n開始看,它的展開式，恰巧就是c(n,1)x+c(n,2)x^2+……+c(n,n)x^n,係數便代表了方案數。事情就是這麼簡單。這一串公式的展開式所組成的G(X）就是母函數。

官方定義：（灰常麻煩）(1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)的母函數。       如若已知序列a0，a1，a2，…則對應的母函數G(x)便可根據定義給出。反之，如若已經求得序列的母函數G(x)，則該序列也隨之確定。       序列a0，a1，a2，…可記為{an} 。

舉例說明。舉例的對象一般是砝碼君，小球君，硬幣君等能夠拆成不同品質或等級的，可以用來自由組合的東西。

比如1個1分，1個2分，1個3分，1個4分，可以表示為1+x,1+x^2,1+x^3,1+x^4。他們一乘，即得方案。不同項前的係數即為組成N克的方案數。官方定義叫拆分數。

整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。

下邊按自己理解寫兩個練習，不知道對不對。。。。。不對的請速度評論，我好改。。。

例：若有1克砝碼3枚、2克砝碼4枚、4克砝碼2枚，問能稱出哪幾種重量？各有幾種方案？ 答：原始式子得(1+x+x^2+x^3)(1+x^2+x^4+x^6+x^8)(1+x^4+x^8)，展開既得結果。。

例：整數n拆分成1，2，3，…，m的和，求其母函數。f(x)=(1/1-x)*(1/1-x^2)*……=1/(1-x)(1-x^2)(1-x^3)…(1-x^m)，如果沒錯的話應該是這樣，雖然我數學很差ORZ。

例：如若上例中m至少出現一次，其母函數又如何？這個我看了很久，最終得出答案是上邊那個結果再減1/(1-x)(1-x^2)(1-x^3)…(1-x^m-1)多減了個(1-x^(m-1))的分母吧……

結論感悟不知道，反正能求種類數……= =

編程方法和痛點就是展開多項式了，正在速度觀察中……以上為純數學部分，有理解失誤請一定及時指出。。。

附虛擬碼一個，依然是個人理解感覺自己數學學得真差，MD。。。。：

#include <iostream>using namespace std;int 很大的數組1，很大的數組2;int main(){while (cin>>n){初始化c1為1;for (i=2;i<=n;i++){for (j=0;j<=n;j++)for (k=0;k+j<=n;k+=i)//目前不明這句 {  c2[j+k]+=c1[j];  }for (j=0;j<=n;j++){  c1[j]=c2[j];c2[j]=0;  }}cout<<c1[n]<<endl;}return 0;}