關於時間複雜度~

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首先：借鑒前人大佬！感謝！本文只做整理

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首先在文中介紹了時間複雜度O，本身自己對於這個有所遺忘，並且本身在演算法課上學的不咋地，正好藉此梳理一下。

下面給出百度百科關於時間複雜的定義：

在電腦科學中，演算法的時間複雜度是一個函數，它定性描述了該演算法的已耗用時間。這是一個關於代表演算法輸入值的字串的長度的函數。時間複雜度常用大O符號表述，不包括這個函數的低階項和首項係數。

百度百科關於時間複雜度的計算方法：

一般，演算法中基本操作重複執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n)，使得T(n)/f(n)的極限值（當n趨近於無窮大時）為不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=O(f(n))，稱O(f(n)) 為演算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。

分析：隨著模組n的增大，演算法執行的時間的增長率和 f(n) 的增長率成正比，所以 f(n) 越小，演算法的時間複雜度越低，演算法的效率越高。

2. 在計算時間複雜度的時候，先找出演算法的基本操作，然後根據相應的各語句確定它的執行次數，再找出 T(n) 的同數量級（它的同數量級有以下：1，log2n，n，n log2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n!），找出後，f(n) = 該數量級，若 T(n)/f(n) 求極限可得到一常數c，則時間複雜度T(n) = O(f(n))

例：演算法：

for(i=1; i<=n; ++i){    for(j=1; j<=n; ++j)    {        c[i][j] = 0;//該步驟屬於基本操作執行次數：n的平方次        for(k=1; k<=n; ++k)            c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];//該步驟屬於基本操作執行次數：n的三次方次    }}

 則有   ，根據上面括弧裡的同數量級，我們可以確定 n的三次方 為T（n）的同數量級則有   ，然後根據 T(n)/f(n) 求極限可得到常數c則該演算法的時間複雜度：T(n) = O(n^3) 註：n^3即是n的3次方。 3.在pascal中比較容易理解，容易計算的方法是：看看有幾重for迴圈，只有一重則時間複雜度為O(n)，二重則為O(n^2)，依此類推，如果有二分則為O(logn)，二分例如快速冪、二分尋找，如果一個for迴圈套一個二分，那麼時間複雜度則為O(nlogn)。

引文中給出了如下的解釋，我覺得受益良多。

時間複雜度不是表示程式解決一個問題所花費的時間，而是表示，當問題規模擴大後，程式需要的時間長度增長有多快。也就是，對於電腦，處理某一個特定資料的效率不能衡配量序的好壞，而應該看這個資料規模擴大到數百倍後程式的已耗用時間是否一樣？或者是否變慢了？

不管資料多大，程式處理畫的時間始終是那麼多的，我們就說這個程式時好的，具有O(1)的時間複雜度，稱常數級複雜度。資料規模變得多大，花的時間變得多長，這個程式的複雜度就是O(n)，比如找N個數中最大的；而像冒泡排序、插入排序等，資料擴大2倍，時間變慢4倍的，屬於O(n^2)的複雜度。還有一些窮舉類的演算法，所需時間長度成幾何階數上漲，這就是O(a^n)的指數級複雜度，甚至O(n!)的階乘級複雜度。不會存在O(2*n^2)的複雜度，因為前面的那個“2”是係數，根本不會影響到整個程式的時間增長。同樣地，O (n^3+n^2)的複雜度也就是O(n^3)的複雜度。因此，我們會說，一個O(0.01*n^3)的程式的效率比O(100*n^2)的效率低，儘管在n很小的時候，前者優於後者，但後者時間隨資料規模增長得慢，最終O(n^3)的複雜度將遠遠超過O(n^2)。我們也說，O(n^100)的複雜度小於O(1.01^n)的複雜度。

容易看出，前面的幾類複雜度被分為兩種層級，其中後者的複雜度無論如何都遠遠大於前者：一種是O(1),O(log(n)),O(n^a)等，我們把它叫做多項式級的複雜度，因為它的規模n出現在底數的位置；另一種是O(a^n)和O(n!)型複雜度，它是非多項式級的，其複雜度電腦往往不能承受。當我們在解決一個問題時，我們選擇的演算法通常都需要是多項式級的複雜度，非多項式級的複雜度需要的時間太多，往往會逾時，除非是資料規模非常小。

 

關於時間複雜度~