演算法的時間複雜度

時間複雜度：如果一個問題的規模是n，解這一問題的某一演算法所需要的時間為T(n)，它是n的某一函數，T(n)稱為這一演算法的“時間複雜度”。    漸近時間複雜度：當輸入量n逐漸加大時，時間複雜性的極限情形稱為演算法的“漸近時間複雜度”。    當我們評價一個演算法的時間效能時，主要標準就是演算法的漸近時間複雜度，因此，在演算法分析時，往往對兩者不予區分，經常是將漸近時間複雜度T(n)=O(f(n))簡稱為時間複雜度，其中的f(n)一般是演算法中頻度最大的語句頻度。    此外，演算法中語句的頻度不僅與問題規模有關，還與輸入執行個體中各元素的取值相關。但是我們總是考慮在最壞的情況下的時間複雜度。以保證演算法的已耗用時間不會比它更長。常見的時間複雜度，按數量級遞增排列依次為：常數階O(1)、對數階O(log2n)、線性階O(n)、線性對數階O(nlog2n)、平方階O(n^2)、立方階O(n^3)、k次方階O(n^k)、指數階O(2^n)。下面我們通過例子加以說明，讓大家碰到問題時知道如何去解決。1、設三個函數f,g,h分別為 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn 請判斷下列關係是否成立：（1） f(n)=O(g(n)) （2） g(n)=O(f(n)) （3） h(n)=O(n^1.5)（4） h(n)=O(nlgn)這 裡我們複習一下漸近時間複雜度的標記法T(n)=O(f(n))，這裡的"O"是數學符號，它的嚴格定義是"若T(n)和f(n)是定義在正整數集合上的 兩個函數，則T(n)=O(f(n))表示存在正的常數C和n0 ,使得當n≥n0時都滿足0≤T(n)≤C?f(n)。"用容易理解的話說就是這兩個函數當整型自變數n趨向於無窮大時，兩者的比值是一個不等於0的常 數。這麼一來，就好計算了吧。  ◆ (1)成立。題中由於兩個函數的最高次項都是n^3,因此當n→∞時，兩個函數的比值是一個常數，所以這個關係式是成立的。 ◆ （2）成立。與上同理。◆ （3）成立。與上同理。◆ （4）不成立。由於當n→∞時n^1.5比nlgn遞增的快，所以h(n)與nlgn的比值不是常數，故不成立。 2、設n為正整數，利用大"O"記號，將下列程式段的執行時間表示為n的函數。(1) i=1; k=0 while(i<n){ k=k+10*i;i++;} 解答：T(n)=n-1， T(n)=O(n)， 這個函數是按線性階遞增的。(2) x=n; // n>1 while (x>=(y+1)*(y+1))y++;解答：T(n)=n1/2 ，T(n)=O(n1/2)， 最壞的情況是y=0，那麼迴圈的次數是n1/2次，這是一個按平方根階遞增的函數。(3) x=91; y=100; while(y>0)if(x>100){x=x-10;y--;}else x++;解答： T(n)=O(1)， 這個程式看起來有點嚇人，總共迴圈運行了1000次，但是我們看到n沒有? 沒。這段程式的運行是和n無關的，就算它再迴圈一萬年，我們也不管他，只是一個常數階的函數。3. 常數階O(1) Temp=i;i=j;j=temp;                      以上三條單個語句的頻度均為1，該程式段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。演算法的時間複雜度為常數階，記作T(n)=O(1)。如果演算法的執行時 間不隨著問題規模n的增加而增長，即使演算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類演算法的時間複雜度是O(1)。  4.平方階O(n^2) （1） 交換i和j的內容     sum=0；                 （一次）     for(i=1;i<=n;i++)       （n次 ）        for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）         sum++；       （n^2次 ）解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2) （2）       for (i=1;i<n;i++)    {         y=y+1;         ①           for (j=0;j<=(2*n);j++)               x++;        ②          }          解： 語句1的頻度是n-1          語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1          f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2          該程式的時間複雜度T(n)=O(n^2).          5.線性階O(n)                                                             （1）     a=0;    b=1;                      ①    for (i=2;i<=n;i++) ②    {         s=a+b;　　　　③       b=a;　　　　　④         a=s;　　　　　⑤    }解： 語句1的頻度：2,                   語句2的頻度： n,                  語句3的頻度： n-1,                  語句4的頻度：n-1,              語句5的頻度：n-1,                                            T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).                                                                                                  6.線性對數階O(log2n ) （1）      i=1;       ①    while (i<=n)       i=i*2; ②解： 語句1的頻度是1,            設語句2的頻度是f(n),   則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n              取最大值f(n)= log2n,          T(n)=O(log2n ) O(n^3) （2）    for(i=0;i<n;i++)    {         for(j=0;j<i;j++)         {          for(k=0;k<j;k++)             x=x+2;         }    }解：當i=m, j=k的時候,內層迴圈的次數為k當i=m時, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以這裡最內迴圈共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則迴圈共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以時間複雜度為O(n^3).                                    我們還應該區分演算法的最壞情況的行為和期望行為。如快速排序的最 壞情況已耗用時間是 O(n^2)，但期望時間是 O(nlogn)。通過每次都仔細 地選擇基準值，我們有可能把平方情況 (即O(n^2)情況)的機率減小到幾乎等於 0。在實際中，精心實現的快速排序一般都能以 (O(nlogn)時間運行。  下面是一些常用的記法：  （1）訪問數組中的元素是常數時間操作，或說O(1)操作。（2）一個演算法如 果能在每個步驟去掉一半資料元素，如二分檢索，通常它就取 O(logn)時間。（3）用strcmp比較兩個具有n個字元的串需要O(n)時間 。（4）常規的矩陣乘演算法是O(n^3)，因為算出每個元素都需要將n對 元素相乘並加到一起，所有元素的個數是n^2。 （5）指數時間演算法通常來源於需要求出所有可能結果。例如，n個元 素的集合共有2n個子集,所以要求出所有子集的演算法將是O(2n)的 。指數演算法一般說來是太複雜了，除非n的值非常小，因為，在 這個問題中增加一個元素就導致已耗用時間加倍。不幸的是，確實有許多問題 (如著名 的“巡迴售貨員問題” )，到目前為止找到的演算法都是指數的。如果我們真的遇到這種情況， 通常應該用尋找近似最佳結果的演算法替代之。 （6）有如下複雜度關係經驗規則c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!其中c是一個常量，如果一個演算法的複雜度為c 、 log2N 、n 、 n*log2N ,那麼這個演算法時間效率比較高 ，如果是 2^n , 3^n ,n!，那麼稍微大一些的n就會令這個演算法不能動了，居於中間的幾個則差強人意。本文來自CSDN部落格，轉載請標明出處：http://blog.csdn.net/curtis2008/archive/2010/01/20/5215194.aspx