Timus 1150. Digits 要求計算 1 到 N 的正整數中包含 0 .. 9 的數目。
1150. Digits
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John
Smith has decided to number the pages in his notebook from 1 to N.
Please, figure out the number of zeros, ones, twos, ... , nines he
might need.InputOne number N (N<1000000000)OutputThere
should be 10 lines. The first line should contain the number of zeros
needed , the second line should contain the number of ones needed, ...
, the tenth line should contain the number of nines needed.Sample
| input |
output |
| 12 |
1
5
2
1
1
1
1
1
1
1 |
Problem Author: Eugene Bryzgalov
Problem Source: Ural Collegiate Programming Contest, April 2001, Perm, English Tour
解答如下：
1 using System;
2
3 namespace Skyiv.Ben.Timus
4 {
5 // Timus 1150. Digits: 求 1 到 N 的正整數中包含 0 .. 9 的數目。
6 // N 9 99 999 9,999 99,999 999,999 9,999,999 99,999,999 999,999,999
7 // i*p 1 20 300 4,000 50,000 600,000 7,000,000 80,000,000 900,000,000
8 // q 1 11 111 1,111 11,111 111,111 1,111,111 11,111,111 111,111,111
9 // 上表中，i*p 是 1 .. 9 的數目，i*p - q 是 0 的數目。
10 // http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1150
11 sealed class T1150
12 {
13 static void Main()
14 {
15 int[] a = new int[10]; // 0 .. 9 的數目
16 int k = 0, n = int.Parse(Console.ReadLine());
17 for (int i = 0, m = 1, p = 1, q = 0; n > 0; i++, n /= 10, q = q * 10 + 1)
18 {
19 int d = n % 10; // d: n 的第 i 位元字，i: 0:個位 1:十位 2:百位
20 k += i * p * d; // i*p: 0 1 20 300 4000 50000 600000 7000000
21 if (i > 0) p *= 10; // p: 1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000
22 for (int j = d - 1; j >= 0; j--) a[j] += p; // 0 .. d-1 的數目
23 if (n < 10) a[0] -= p + q; // q: 0 1 11 111 1111 11111 111111
24 a[d] += m; // d 的數目
25 m += d * p; // m: n 的低 i 位 + 1, 例 n: 59842，m: 1 3 43 843 9843
26 }
27 for (int i = 0; i < a.Length; i++) Console.WriteLine(a[i] + k);
28 }
29 }
30 }
本程式使用的演算法是非常高效的，時間複雜度是 O(logN)。主要痛點是計算 0 的數目。今天斷斷續續用了三、四個小時才完全搞定這個演算法。
是輸入 N = 59842 的。在這個例子中，i 從 0 迴圈到 4，分別對應 N 的個、十、百、千、萬位。在迴圈體內，又分為三個部分進行計數。下面以 i = 2，即 N 的百位元 d = 8 為例進行說明：
- 程式中的第 20 行: k += i * p * d; 對應中的淺青色部分 ( 個位沒有淺青色部分，其計數為零 )。i * p = 20，表示 00 .. 99 範圍內每種數字各出現 20 次。d = 8，表示 0 .. 7 共有 8 種 ( 中黃色部分 )，所以總計數為 i * p * d。
- 程式中的第 22 行: for (int j = d - 1; j >= 0; j--) a[j] += p; 對應中的黃色部分。p = 100 ( 注意，這時 p 不是 10，因為程式中的第 21 行已經將 p 乘以 10 了 )，d = 8，j = 7 .. 0，表示 0 到 7 這 8 個數字各出現 100 次 ( 00 .. 99)。
- 程式中的第 24 行: a[d] += m; 對應中的粉紅色部分。d = 8，m = 43，表示 N 的百位元字 8 共出現了 43 次 ( 00 .. 42 )，這是 N 最低兩位 ( 42 ) 加一。
至於 0 的計數，需要在最後一輪迴圈 ( N 的最高位 ) 中扣除無效前置字元為零，如程式中第 23 行: if (n < 10) a[0] -= p + q; 所示，此時 i = 4，n = 5，p = 10000，q = 1111。扣除 p 是為了中黃色部分的 0，扣除 q 是為了中淺青色部分的 0。
附：上面程式的演算法中使用了以下定理：
從 1 到 10r - 1 的正整數，包含 1 .. 9 各 r * 10r-1 個，包含 0 的數目為: r * 10r-1 - ( 100 + ... + 10r-1)。
證明如下：
以 r = 3 為例，我們來證明從 1 到 999 的正整數，包含 1 .. 9 各 300 個，包含 0 的數目為: 300 -111 = 189。
首先，考慮 000 .. 999 這 1000 個整數(暫時不丟棄前置字元為零)，每個整數共包含 3 個數字，所以這 1000 個整數包含 3 * 1000 = 3000 個數字。
其次，這 1000 個整數中，0 .. 9 這 10 個數字出現的次數是相同的，也就是說， 0 .. 9 這 10 個數字各出現了 3000 / 10 = 300 次。
最後，讓我們來計算前置字元為零的個數，分為以下三種情況：
- 000: 3 * 1 個
- 001 .. 009: 2 * 9 個
- 010 .. 099: 1 * 90 個
總計: 3 * 1 + 2 * 9 + 1 * 90 = 1 + (1 + 9) + (1 + 9 + 90) = 1 + 10 + 100 = 111 個。
所以，扣除前置字元為零後，包含 0 的數目為: 300 -111 = 189。
對於 r 的其他值也可以類似地證明。
