【練練腦子】時鐘直角問題

作者：gnuhpc
出處：http://www.cnblogs.com/gnuhpc/

問：24小時時針和分針互成直角多少次？

答：首先是一個常識性問題，分針和時針通過運動重合時，一定伴隨兩次成為直角（可以試著把時針視為靜止，然後想象一下）。我們看看在第一個12小時內，分針和時針重合了幾次。分針與時針在00：00重合，因為這是開始所以不算。時針和分針在00：00--12：00重合了十一次，11*2=22。那麼後一個12小時同理,也為22，加起來為44.

網上還有其他解法：

解法1：假設不考慮時針的旋轉，那有48次，然而時針是有旋轉的。但三點整合九點整的時候恰好為直角，也就是說我們把兩點的後一次和三點的前一次算重了，把八點的後一次和九點的前一次算重了，所以48-4=44。

解法2：分針每小時轉一圈，就是360度，所以分針的速度是360度/小時
同理，時針是30度 /小時
他們的速度差是330度/小時
所以，設他們互相垂直的時點為T，那麼T滿足90+360K=330T或者 -90+360K=330T
其中K為0，1，2……
那麼我們主要從0開始代入不同的K，求出不同的T，只要T在0和24之間就可以啦，最後數一下有多少個T就可以了
當K=0的時候，T有1個值滿足
K=1.2.3.4.5.6.7一直到21的時候，每個K都有2個T對應
當 K=22的時候，T也只有1個值滿足
所以全部的T共有1+21*2+1=44
即一晝夜共垂直44次

附： 數學運算之時鐘問題專題 (轉)
基本思路：封閉曲線上的追及問題。
關鍵問題：
①確定分針與時針的初始位置；
②確定分針與時針的路程差；
基本方法：從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉360/60度，即6°，時針每分鐘轉360/12*60度，即0.5度，故分針和時針的角速度差為 5.5°/分鐘。
【例題1】從12時到13時，鐘的時針與分針可成直角的機會有：
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【解析】
時針與分針成直角，即時針與分針的角度差為90度或者為270度，理論上講應為２次，還要驗證：
根據角度差/速度差 =分鐘數，可得 90/5．5= 16又4/11＜60，表示經過16又4/11分鐘，時針與分針第一次垂直；同理，270/5．5 = 49又1/11＜60，表示經過49又1/11分鐘，時針與分針第二次垂直。經驗證，選B可以。
【例題2】在某時刻，某鐘錶時針在10點到11點之間，此時刻再過6分鐘後的分針和此時刻3分鐘前的時針正好方向相反且在一條直線上，則此時刻為
A．10點15分：
B．10點19分
C．10點20分
D．10點25分
【解法1】時針10―11點之間的刻度應和分針20―25分鐘的刻度相對，所以要想時針與分針成一條直線，則分針必在這一範圍，而選項中加上6分鐘後在這一範圍的只有10點15分，所以答案為A。
【解法2】常規方法
設此時刻為X分鐘。則6分鐘後分針轉的角度為6（X+6）度，則此時刻3分鐘前的時針轉的角度為0．5（Ｘ＋3）度，以0點為起始來算此時時針的角度為 0．5（Ｘ―3）+10×30度。所謂“時針與分針成一條直線”即0．5（Ｘ―3）+10×30―6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分鐘。
【例題3】 現在是2點，什麼時候時針與分針第一次重合？
解析：2點的時候分針和時針的角度差為60°，而分針和時針的角速度差為5.5°/分鐘，所以時間為60/5.5=120/11 分。即經過120/11分鐘後時針與分針第一次重合。
【例題4】 在7點與8點之間，時針與分針在什麼時刻相互垂直？
解析：在7點與8點之間，時針與分針會有兩次垂直的機會。在7點的時候，分針與時針的角度為210°，第一次垂直時分針需要追及的角度為120°，則時間為120/5.5=240/11分，第二次垂直時分針需要追及的角度為300°，則時間為300/5.5=600/11分。
【例題5】晚上7點到8點之間電視裡播出一部動畫片，開始時分針與時針正好成一條直線，結束時兩針正好重合。這部動畫片播出了多長時間？
解析：7點的時候分針與時針的角度差為210°，重合的時候分針追及的角度為30°，則時間為30/5.5=60/11 分鐘。重合的時候分針追及的角度為210°，則時間為210/5.5=420/11，時間差為360/11分鐘。
【例題6】3點過多少分時，時針和分針離“3”的距離相等，並且在“3”的兩邊？
解析：時針和分針離3的距離相等，即時針和分針與3的角度相等。列方程如下：0.5X=90-6X X=180/13分鐘。
【例題7】小王去開會，會前會後都看了表，發現前後時針和分針位置剛好互換，問會開了1小時幾分（）
A.51  B  49  C47  D45  
解析：時間大於1小時小於兩小時，又因為時針和分針的位置互換，則分針與時針共同轉過的角度和為720°，則時間為720/6.5=1440/13約等於 1小時51分鐘。
【例題8】會議開始時,小李看了一下表,會議結束時,又看了一下表,結果分針與時針恰好對調了位置.會議在3點至4點之間召開,5點至6點之間結束,請問會議何時召開?
【解析】會議在3點至4點之間召開,5點至6點之間結束。
那麼會議開始的大致時間我們可以得到是3點25-30之間。會議結束的時間大致是5點15-20分。會議結束時時針的位置就是會議開始時分鐘的位置，15-20分，時針轉的格數是15/12-20/12=5/4-5/3之間，那麼分鐘就在這個位置。5點位置分針是25分，加上5/4-5/3就是分鐘的位置。
常規解法：會議持續的時間為720/6.5=1440/13分鐘=24/13小時
假設會議開始的時間為3點X分。那麼會議開始時時針的格數為15+1/12 *X格
會議結束時時針的格數為X格。得X=15+X/12+5*(24/13)

 

作者：gnuhpc
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