樹與二叉樹

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 樹是一類重要的非線性資料結構，是以分支關係定義的階層

定義：樹(tree)是n(n>=0)個結點的有限集T，其中：

      n=0時為空白樹

      n>0時，有且僅有一個特定的結點，稱為樹的根(root)

      當n>1時，其餘結點可分為m(m>0)個互不相交的有限集T1,T2,……Tm，

      其中每一個集合本身又是一棵樹，稱為根的子樹(subtree)

特點：
      非空樹中至少有一個結點——根

      樹中各子樹是互不相交的集合

基本概念：

結點(node)——表示樹中的元素，包括資料項目及若干指向其子樹的分支

結點的度(degree)——結點擁有的子樹數
葉子(leaf)——度為0的結點
孩子(child)——結點子樹的根稱為該結點的孩子
雙親(parents)——孩子結點的上層結點叫該結點的~
兄弟(sibling)——同一雙親的孩子
樹的度——一棵樹中最大的結點度數
結點的層次(level)——從根結點算起，根為第一層，它的孩子為第二層……
深度(depth)——樹中結點的最大層次數
森林(forest)——m(m>=0)棵互不相交的樹的集合

二叉樹

定義：二叉樹是n(n>=0)個結點的有限集，它或為空白樹(n=0)，或由一個根結點和兩棵分別稱為

     左子樹和右子樹的互不相交的樹構成
特點：
     每個結點至多有二棵子樹(即不存在度大於2的結點)
     二叉樹的子樹有左、右之分，且其次序不能任意顛倒

性質：1.在二叉樹的第i層至多有 2i-1 個結點（i>=1）

      2.深度為k的二叉樹至多有 2k－1 個結點(k>=1)

      3.對任何一棵二叉樹T，如果其終端結點數為n0，度為2的結點數為n2，則n0=n2+1
     證明：n1為二叉樹T中度為1的結點數
           因為：二叉樹中所有結點的度均小於或等於2
           所以：其結點總數n=n0+n1+n2
           又二叉樹中，除根結點外，其餘結點都只有一個分支進入
           設B為分支總數，則n=B+1
           又：分支由度為1和度為2的結點射出，即 B=n1+2n2
           於是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2
         即：n0=n2+1

滿二叉樹

定義：一個深度為k，且有2k－1個結點的二叉樹

完全二叉樹

定義：深度為k，有n個結點的二叉樹若且唯若其每一個結點都

      與深度為k的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對應

特點：
      葉子結點只可能在層次最大的兩層上出現
     對任一結點，若其右分支下子孫的最大層次為i，則其左分支下子孫的最大層次必為i或i+1

性質：4.具有k個結點的完全二叉樹，深度為(log2k）向下取整再加一

性質：5.如果對一棵有n個結點的完全二叉樹的結點按層序編號，則對任一結點i(1<=i<=n)，有：
  (1)  如果i=1，則結點i是二叉樹的根，無雙親；如果i>1，則其雙親是i/2
  (2)  如果2i>n，則結點i無左孩子；如果2i<=n，則其左孩子是2i
  (3)  如果2i+1>n，則結點i無右孩子；如果2i+1<=n，則其右孩子是2i+1

二叉樹的遍曆
方法
先序遍曆：先訪問根結點,然後分別先序遍曆左子樹、右子樹
中序遍曆：先中序遍曆左子樹，然後訪問根結點，最後中序遍曆右子樹
後序遍曆：先後序遍曆左、右子樹，然後訪問根結點
按層次遍曆：從上到下、從左至右訪問各結點

參考代碼：

void printq(Tree *T) {    if(T!=NULL){        printf("%c",T->c);        printq(T->l);        printq(T->r);    }}

先序遍曆輸出

void printz(Tree *T)  {    if(T!=NULL){        printz(T->l);        printf("%c",T->c);        printz(T->r);    }}

中序遍曆輸出

void printh(Tree *T)  {    if(T!=NULL){        printh(T->l);        printh(T->r);        printf("%c",T->c);    }}

後序遍曆輸出

void ccbl(Tree *T)   {    q.push(T);    while(!q.empty()){        T=q.front();        q.pop();        printf("%c",T->c);        if(T->l!=NULL)            q.push(T->l);        if(T->r!=NULL)            q.push(T->r);    }}

層次遍曆輸出