樹狀數組的學習

 

 

今天學習了一下樹狀數組,它的主要作用就是對於連續區間值和尋找,雖然修改的複雜度為logN,但是求a[1]~a[n]的和的時間複雜度也為logN.相對於線段樹來說,時間複雜度相同,而空間複雜度更低,而且編程難易度也較線段樹簡單,缺點就是適用範圍沒有線段樹廣.典型的例題可以看一下POJ的2352.

 

以下文章轉自http://www.cnblogs.com/yykkciwei/archive/2009/05/08/1452889.html

 

 

 

先廢話一下.

嗯 嗯  從今天開始 從基礎一步一步開始 追逐我的夢想!

今天先來討論一下樹狀數組.

問題提出：已知數組a[],元素個數為n,現在更改a中的元素,要求得新的a數組中i到j區間內的和(1<=i<=j<=n).

思考：對於這個問題,我們可以暴力地來解決,從a[i]一直累加到a[j],最壞的情況下複雜度為O(n),對於m次change&querry,合起來的複雜度為O(m*n),在n或m很大的情況下,這樣的複雜度是讓人無法忍受的.另外,如果沒有元素的變更,我們完全可以儲存sum[1,k](k=1,2,……),然後對任意給定的尋找區間[i,j],都可以方便的用ans=sum[1,j]-sum[1,i-1],當然這隻是沒有元素改變的情況下的比較最佳化的解法.那麼對於有元素變更的問題是否有更高效的方法呢?(廢話!沒有我還寫啥?!)可以想一下,每次更改的元素是比較少的,有時候甚至每次只改變一個元素,但是在用暴力方法求區間和的時候,卻對區間內所有的元素都累加了一遍,這樣其實造成了許多無謂的運算.這時候也許會想到如果能把一些結果存起來會不會減少很多運算?答案是肯定的,但問題是怎麼存,存什麼?如果存任意區間的話,n比較大的時候不但記憶體吃不消,而且儲存的量太大,不易更改,反而得不償失;那麼也許可以考慮儲存特定的一些區間(比如說線段樹,其實現在討論的問題用線段樹完全可以解,以後再詳細寫線段樹).那麼現在重新回過頭來,看下這個問題,我們已經確定了要儲存一些特定區間sum的想法,接下來我們要解決的無非是兩個問題:1、減少更改元素後對這些區間裡的sum值的更改時間.2、減少尋找的時間.

好了廢話了這麼半天,無非是想讓自己以及看到的人明白為什麼要用樹狀數組.

接下來正式入題.

首先我們可以借鑒元素不變更問題的最佳化方法,先得到前i-1項之和and前j項之和,以s[i]表示前i項之和,那麼sum[i,j]=s[j]-s[i-1].那麼現在的問題已經轉化為求前i項之和了.另外,我們已經確定要儲存一些特定區間的和,現在就要來揭示這些特定的區間究竟指什麼.

在文字說明之前先引入一個非常經典的,在網上找到的樹狀數組文章裡幾乎都要出現的一個圖片

不難發現,c[k]儲存的實際上是從k開始向前數k的二進位表示中右邊第一個1所代表的數字個元素的和(這麼說可能有點拗口,令lowbit為k的二進位表示中右邊第一個1所代表的數字,然後c[k]裡存的就是從a[k]開始向前數lowbit個元素之和)這麼存有什麼好處呢?無論是樹狀數組還是線段樹,都用到了分塊的思想,而樹狀數組採用這樣的儲存結構我想最主要的還是這樣方便計算,我們可以用位元運算輕鬆地算出lowbit.分析一下這樣做的複雜度:對於更改元素來說,如果第i個元素被修改了,因為我們最終還是要求和,所以可以直接在c數組裡面進行相應的更改,中的例子,假設更改的元素是a[2],那麼它影響到得c數組中的元素只有c[2],c[4],c[8],我們只需一層一層往上修改就可以了,這個過程的最壞的複雜度也不過O(logN);對於尋找來說,如尋找s[k],只需尋找k的二進位表示中1的個數次就能得到最終結果,比如尋找s[7],7的二進位表示中有3個1,也就是要尋找3次,到底是不是呢,我們來看,s[7]=c[7]+c[6]+c[4],可能你還不知道怎麼實現這個過程.

還以7為例,二進位為0111,右邊第一個1出現在第0位上,也就是說要從a[7]開始向前數1個元素(只有a[7]),即c[7];

然後將這個1舍掉,得到6,二進位表示為0110,右邊第一個1出現在第1位上,也就是說要從a[6]開始向前數2個元素(a[6],a[5]),即c[6];

然後舍掉用過的1,得到4,二進位表示為0100,右邊第一個1出現在第2位上,也就是說要從a[4]開始向前數4個元素(a[4],a[3],a[2],a[1]),即c[4].

 

代碼

  int lowbit(int x)//計算lowbit
{
    return x&(-x);
}
void add(int i,int val)//將第i個元素更改為val
{
    while(i<=n)
    {
        c[i]+=val;
        i+=lowbit(i);
    }
}
int sum(int i)//求前i項和
{
    int s=0;
    while(i>0)
    {
        s+=c[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return s;
}

 

 

 

 

以下文章轉自http://dongxicheng.org/structure/binary_indexed_tree/

 

 

 

 

 

1、概述

樹狀數組(binary indexed tree)，是一種設計新穎的數組結構，它能夠高效地擷取數組中連續n個數的和。概括說，樹狀數組通常用於解決以下問題：數組{a}中的元素可能不斷地被修改，怎樣才能快速地擷取連續幾個數的和？

2、樹狀數組基本操作

傳統數組(共n個元素)的元素修改和連續元素求和的複雜度分別為O(1)和O(n)。樹狀數組通過將線性結構轉換成偽樹狀結構（線性結構只能逐個掃描元素，而樹狀結構可以實現跳躍式掃描），使得修改和求和複雜度均為O(lgn)，大大提高了整體效率。

給定序列（數列）A，我們設一個數組C滿足

C[i] = A[i–2^k+ 1] + … + A[i]

其中，k為i在二進位下末尾0的個數，i從1開始算！

則我們稱C為樹狀數組。

下面的問題是，給定i，如何求2^k?

答案很簡單：2k=i&(i^(i-1)) ，也就是i&(-i)

下面進行解釋：

數組C的具體含義如所示：

當我們修改A[i]的值時，可以從C[i]往根節點一路上溯，調整這條路上的所有C[]即可，這個操作的複雜度在最壞情況下就是樹的高度即O(logn)。另外，對於求數列的前n項和，只需找到n以前的所有最大子樹，把其根節點的C加起來即可。不難發現，這些子樹的數目是n在二進位時1的個數，或者說是把n展開成2的冪方和時的項數,因此，求和操作的複雜度也是O(logn)。

樹狀數組能快速求任意區間的和：A[i] + A[i+1] + … + A[j]，設sum(k) = A[1]+A[2]+…+A[k]，則A[i] + A[i+1] + … + A[j] = sum(j)-sum(j-1)。

下面給出樹狀數組的C語言實現：

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849

//求2^k int lowbit(int t) {     return t & ( t ^ ( t - 1 ) ); } //求前n項和 int sum(int end) {    int sum = 0;    while(end > 0)   {      sum += in[end];      end -= lowbit(end);   }   return sum; } //增加某個元素的大小 void plus(int pos, int num) {    while(pos <= n)   {      in[pos] += num;      pos += lowbit(pos);   } }

3、擴充——二維樹狀數組

一維樹狀數組很容易擴充到二維，二維樹狀數組如下所示：

C[x][y] = sum(A[i][j])

其中，x-lowbit[x]+1 <= i<=x且y-lowbit[y]+1 <= j <=y

4、應用

（1）    一維樹狀數組：

參見：http://hi.baidu.com/lilu03555/blog/item/4118f04429739580b3b7dc74.html

（2）    二維樹狀數組：

一個由數字構成的大矩陣，能進行兩種操作

1) 對矩陣裡的某個數加上一個整數（可正可負）

2) 查詢某個子矩陣裡所有數位和

要求對每次查詢，輸出結果

5、總結

樹狀數組最初是在設計壓縮演算法時發現的（見參考資料1），現在也會經常用語維護子序列和。它與線段樹（具體見：資料結構之線段樹）比較在思想上類似，比線段樹節省空間的且編程複雜度低，但使用範圍比線段樹小（如查詢每個區間最小值問題）。

6、參考資料

（1）    Binary Indexed Trees：

http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=binaryIndexedTrees

（2）    吳豪文章《樹狀數組》：

http://www.java3z.com/cwbwebhome/article/article19/zip/treearray.zip

（3）    郭煒文章《線段樹和樹狀數組》：

http://poj.org/summerschool/1_interval_tree.pdf