【樹上的分治】poj1741

樹是一種優美的資料結構（嗯嗯，這句話看過百遍了）。

 

這道題目的描述很清晰，給你一顆N個點（N<10000）有邊權的無根樹，要你統計滿足距離不超過k的點對個數；

 

因為有多組資料的存在，所以平方的演算法是不行的，便向NlogN靠近（貌似用什麼NB資料結構可以O(N)？天啊。。）。

仔細分析了一下，其實是看了論文，對於每個滿足條件的點對，他們之間有一條路徑，對於每一個點，要麼在這個路徑上，要麼在路徑之外，這就讓我們想到了使用分治演算法：

      對於每一顆樹，我們找到最優的這樣一個根，使得以他兒子為根的子樹中大小最大的最小。這樣選跟是有意義的，可以使得遞迴分下去的層數最少，這樣很容易證明分出的層數是小於等於logN層的（最壞情況一條鏈）。

      我們找到這樣的根了，然後只要統計經過他的路徑的條數就可以了，條件就是dep(i)+dep(j)<=k (i和j屬於不同的子樹)—> dep(i)<=k-dep(j),我是利用treap統計的，好像可以O(N)的線性掃描，無解。

      自己做完後，在遞迴到每顆子樹就可以了。因為一共有logN層，每層要NlogN的統計，所以複雜度是 N log2N 的，速度很快，300ms。

 

代碼自我感覺良好：

 

program poj1741;<br />var<br /> d,son,l,r,v,w,next,p,c,s,go:array[0..30000] of longint;<br /> o:array[0..20000] of boolean;<br /> n,len,best,i,min,t,tot,tmp,ans,root,a,b,cc:longint;</p><p>procedure left(var i:longint); begin<br /> tmp:=r[i];r[i]:=l[tmp];l[tmp]:=i;<br /> s[i]:=s[l[i]]+s[r[i]]+1;<br /> s[tmp]:=s[l[tmp]]+s[r[tmp]]+1;<br /> i:=tmp;<br />end;</p><p>procedure right(var i:longint); begin<br /> tmp:=l[i];l[i]:=r[tmp];r[tmp]:=i;<br /> s[i]:=s[l[i]]+s[r[i]]+1;<br /> s[tmp]:=s[l[tmp]]+s[r[tmp]]+1;<br /> i:=tmp;<br />end;</p><p>procedure insert(var i:longint;k:longint); begin<br /> if i=0 then begin<br /> inc(t);i:=t;<br /> s[i]:=1;<br /> w[i]:=k;<br /> v[i]:=random(maxlongint);<br /> l[i]:=0;r[i]:=0;<br /> end else<br /> if w[i]>k then begin<br /> insert(l[i],k);inc(s[i]);<br /> if v[l[i]]>v[i] then right(i);<br /> end else begin<br /> insert(r[i],k);inc(s[i]);<br /> if v[r[i]]>v[i] then left(i);<br /> end;<br />end;</p><p>function rank(i,k:longint):longint; begin<br /> if i=0 then exit(0);<br /> if w[i]<=k then rank:=s[l[i]]+1+rank(r[i],k) else<br /> rank:=rank(l[i],k);<br />end;</p><p>procedure link(a,b,cc:longint); begin<br /> inc(t);<br /> next[t]:=d[a];d[a]:=t;p[t]:=b;c[t]:=cc;<br />end;</p><p>procedure dfs1(fa,i,dep:longint);<br />var k,j:longint;<br />begin<br /> inc(ans,rank(root,len-dep));<br /> k:=d[i];j:=p[k];<br /> son[i]:=1;<br /> while k<>0 do begin<br /> if (j<>fa)and(not o[j]) then begin<br /> dfs1(i,j,dep+c[k]);<br /> inc(son[i],son[j]);<br /> end;<br /> k:=next[k];j:=p[k];<br /> end;<br />end;</p><p>procedure dfs2(fa,i,dep:longint);<br />var k,j,ms:longint;<br />begin<br /> insert(root,dep);<br /> ms:=tot-son[i];<br /> k:=d[i];j:=p[k];<br /> while k<>0 do begin<br /> if (j<>fa)and(not o[j]) then begin<br /> dfs2(i,j,dep+c[k]);<br /> if son[j]>ms then ms:=son[j];<br /> end;<br /> k:=next[k];j:=p[k];<br /> end;<br /> if ms<min then begin<br /> min:=ms;best:=i;<br /> end;<br />end;</p><p>procedure deal(i:longint);<br />var k,j:longint;<br />begin<br /> o[i]:=true;<br /> root:=0;t:=0;<br /> insert(root,0);<br /> k:=d[i];j:=p[k];<br /> while k<>0 do begin<br /> if not o[j] then begin<br /> min:=maxlongint;<br /> dfs1(i,j,c[k]);tot:=son[j];<br /> dfs2(i,j,c[k]);go[j]:=best;<br /> end;<br /> k:=next[k];j:=p[k];<br /> end;<br /> k:=d[i];j:=p[k];<br /> while k<>0 do begin<br /> if not o[j] then deal(go[j]);<br /> k:=next[k];j:=p[k];<br /> end;<br />end;</p><p>begin<br /> readln(n,len);<br /> randomize;<br /> while n<>0 do begin<br /> t:=0;ans:=0;<br /> fillchar(o,sizeof(o),false);<br /> fillchar(d,sizeof(d),0);<br /> for i:=1 to n-1 do begin<br /> readln(a,b,cc);<br /> link(a,b,cc);link(b,a,cc);<br /> end;<br /> deal(1);<br /> writeln(ans);<br /> readln(n,len);<br /> end;<br />end.<br />