開燈關燈問題

有編號1~100個燈泡，起初所有的燈都是滅的。有100個同學來按燈泡開關，如果燈是亮的，那麼按過開關之後，燈會滅掉。如果燈是滅的，按過開關之後燈會亮。

現在開始按開關。

第1個同學，把所有的燈泡開關都按一次(按開關燈的編號： 1,2,3,......100)。
第2個同學，隔一個燈按一次(按開關燈的編號： 2,4,6,......,100)。
第3個同學，隔兩個燈按一次(按開關燈的編號： 3,6,9,......,99)。
......

問題是，在第100個同學按過之後，有多少盞燈是亮著的？

這個問題有一個數學上的解決方案。可以看出，被按了奇數次的燈泡應該是亮著的，被按了偶數次的燈泡應該是滅的。那麼什麼樣的燈泡被按了奇數次？什麼樣的燈泡又被按了偶數次呢？從按的過程可以發現，如果一個燈泡的編號具有偶數個因子，那麼該燈泡就被按了偶數次，反之按了奇數次。現在的問題又變成，什麼樣的編號具有奇數個因子，什麼樣的編號具有偶數個因子？這涉及到一個叫做質因數分解的定理，大概的意思是說，任何正數都能被唯一表示成多個質因數冪次乘積的方式。

例如:

14=2*7
50=2*5^2
...
100=2^2*5^2

也就是N=(p[1]^e[1])*(p[2]^e[2])*......*(p[k]^e[k])，其中p[i]是質數，e[i]是p[i]的冪次。而由這個公式我們又可以匯出一個數有多少個因子的計算公式:FactorNumber(N)=(e[1]+1)*(e[2]+1)*......*(e[k]+1)。

那麼什麼條件下滿足FactorNumber(N)是奇數呢？顯然必須所有的e[1],e[2],......,e[k]都必須是偶數，這樣才能保證e[i]+1是奇數，結果乘積才能是奇數。而由於e[1],e[2],......,e[k]都是偶數,那麼N一定是一個完全平方數(因為sqrt(N)=(p[1]^(e[1]/2))*(p[2]^(e[2]/2))*......*(p[k]^(e[k]/2))是整數) 。回到按燈泡的問題上來，1~100中完全平方數有1,4,9,16,25,36,49,64,81,100這10個數，也就是說最後只有編號為這10個數的燈是亮著的。